Irisan kerucut: Ellips

IRISAN KERUCUT: ELIPS

Memahami persamaan, fokus, eksentrisitas, dan perubahan bentuk elips melalui eksplorasi laboratorium matematika interaktif.

A. Mengenal Elips

Sifat utama elips: jumlah jarak titik P ke kedua fokus selalu tetap.

Elips adalah himpunan semua titik pada bidang yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tetap selalu sama. Dua titik tetap tersebut disebut titik fokus (fokus pertama dan fokus kedua).

Gagasan utama: Jika titik P bergerak pada sebuah elips dengan fokus F₁ dan F₂, maka berlaku

PF₁ + PF₂ = 2a

dengan 2a merupakan panjang sumbu mayor.

Elips dapat dibayangkan sebagai lintasan planet mengelilingi Matahari (dalam model orbit elips), bentuk lintasan pada beberapa sistem optik, serta bentuk desain arsitektur dan arena.

B. Unsur-unsur Elips

Unsur elips dengan sumbu mayor mendatar: pusat, fokus, dan kedua sumbu.

Pusat (O): titik tengah elips.
Sumbu mayor: diameter terpanjang elips, panjangnya 2a.
Sumbu minor: diameter terpendek elips, panjangnya 2b.
Titik puncak mayor: ujung-ujung sumbu mayor.
Titik puncak minor: ujung-ujung sumbu minor.
Fokus: dua titik tetap di dalam elips, berjarak c dari pusat.
Eksentrisitas (e): ukuran kelonjongan elips, yaitu e = ca.

Untuk elips, a adalah setengah sumbu mayor, b adalah setengah sumbu minor, dan c adalah jarak pusat ke fokus. Selalu berlaku a ≥ b > 0 serta c² = a² − b².

C. Persamaan Baku Elips

Jika sumbu mayor mendatar, penyebut terbesar berada di bawah suku x.

1. Pusat di O(0,0), sumbu mayor mendatar

x²a² + y²b² = 1, dengan a > b

Pusat: (0,0)
Puncak mayor: (−a,0) dan (a,0)
Puncak minor: (0,−b) dan (0,b)
Fokus: (−c,0) dan (c,0)

Jika sumbu mayor tegak, penyebut terbesar berada di bawah suku y.

2. Pusat di O(0,0), sumbu mayor tegak

x²b² + y²a² = 1, dengan a > b

Puncak mayor: (0,−a) dan (0,a)
Puncak minor: (−b,0) dan (b,0)
Fokus: (0,−c) dan (0,c)

3. Pusat di (h,k), sumbu mayor mendatar

(x−h)²a² + (y−k)²b² = 1

Fokus: (h−c,k) dan (h+c,k). Puncak mayor: (h−a,k) dan (h+a,k).

4. Pusat di (h,k), sumbu mayor tegak

(x−h)²b² + (y−k)²a² = 1

Fokus: (h,k−c) dan (h,k+c). Puncak mayor: (h,k−a) dan (h,k+a).

D. Hubungan a, b, c, dan Eksentrisitas

Semakin dekat kedua fokus ke pusat, elips semakin mendekati lingkaran.

c² = a² − b² dan e = ca

Karena 0 ≤ c < a, maka 0 ≤ e < 1. Jika e mendekati 0, elips semakin menyerupai lingkaran. Jika e mendekati 1, elips semakin pipih atau lonjong.

Jika a = b, bentuknya menjadi lingkaran dan kedua fokus berimpit di pusat (c = 0). Dalam pembahasan elips sejati, biasanya a > b.

E. Mengubah Persamaan Elips ke Bentuk Baku

Melengkapkan kuadrat menentukan pusat dan ukuran elips dari persamaan umum.

Persamaan elips sering diberikan dalam bentuk umum tanpa tanda kurung. Untuk mengubahnya menjadi bentuk baku, gunakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Contoh 1. Ubah persamaan 9x² + 4y² − 18x + 16y − 11 = 0 menjadi bentuk baku.

Penyelesaian:

Kelompokkan suku x dan y:

9(x² − 2x) + 4(y² + 4y) = 11

Lengkapi kuadrat:

9[(x − 1)² − 1] + 4[(y + 2)² − 4] = 11

Uraikan dan pindahkan konstanta:

9(x − 1)² + 4(y + 2)² = 36

Bagi kedua ruas dengan 36:

(x − 1)²4 + (y + 2)²9 = 1

Jadi pusatnya (1,−2), sumbu mayor tegak, a = 3, b = 2, dan c = √5. Fokusnya (1,−2−√5) dan (1,−2+√5).

F. Mengubah Bentuk Baku Menjadi Bentuk Umum

Bentuk baku dapat diuraikan kembali menjadi persamaan umum tanpa tanda kurung.

Contoh 2. Ubah (x−2)²16 + (y+1)²9 = 1 menjadi bentuk umum.

Kalikan dengan 144:

9(x−2)² + 16(y+1)² = 144

Uraikan:

9(x²−4x+4) + 16(y²+2y+1) = 144

9x² + 16y² − 36x + 32y − 92 = 0

G. Cara Cepat Mengenali Bentuk Persamaan

Elips memiliki dua suku kuadrat dengan koefisien sejenis tanda dan umumnya berbeda besar.

Ciri persamaan	Kesimpulan
Koefisien x² dan y² positif serta berbeda	Dapat berupa elips, setelah diperiksa kelengkapannya
Koefisien x² dan y² sama	Dapat berupa lingkaran
Suku x² dan y² berlawanan tanda	Dapat berupa hiperbola
Hanya satu variabel berpangkat dua	Dapat berupa parabola

Catatan: bentuk koefisien saja belum cukup untuk memastikan grafik nyata. Persamaan harus diperiksa setelah melengkapkan kuadrat.

H. Laboratorium Matematika: Jelajahi Elips!

Gambar konsep sebagai acuan sebelum siswa mengubah parameter pada laboratorium interaktif.

Geser slider di bawah ini. Amati bagaimana pusat, ukuran, arah sumbu mayor, dan posisi fokus berubah. Grafik dan persamaannya diperbarui secara langsung.

Setengah sumbu mayor (a) 5

Setengah sumbu minor (b) 3

Pusat x (h) 0

Pusat y (k) 0

Arah sumbu mayor Mendatar

Skala koordinat dapat berubah mengikuti ukuran elips. Titik fokus ditandai F₁ dan F₂.

I. Contoh Soal dan Pembahasan

Perhatikan arah sumbu mayor saat menentukan letak a² dan b².

Contoh 3. Menentukan unsur elips.

Diketahui x²25 + y²9 = 1. Tentukan pusat, panjang sumbu mayor dan minor, fokus, serta eksentrisitas.

Pembahasan: a² = 25 sehingga a = 5; b² = 9 sehingga b = 3.

c² = 25 − 9 = 16 → c = 4

Pusat (0,0), sumbu mayor mendatar, panjang sumbu mayor 10, panjang sumbu minor 6, fokus (−4,0) dan (4,0).

e = ca = 45

Contoh 4. Menentukan persamaan dari pusat dan fokus.

Elips berpusat di (2,−1), memiliki sumbu mayor mendatar dengan a = 5 dan fokus berjarak 4 satuan dari pusat. Tentukan persamaannya.

Pembahasan: c = 4, a = 5.

b² = a² − c² = 25 − 16 = 9

Karena sumbu mayor mendatar:

(x−2)²25 + (y+1)²9 = 1

Contoh 5. Menentukan persamaan dari titik puncak.

Elips berpusat di (−1,2), puncak mayor di (−1,8) dan (−1,−4), serta puncak minor di (2,2) dan (−4,2). Tentukan persamaannya.

Pembahasan: Jarak pusat ke puncak mayor a = 6 dan ke puncak minor b = 3. Sumbu mayor tegak.

(x+1)²9 + (y−2)²36 = 1

J. Aplikasi Elips dalam Kehidupan

Contoh bentuk taman elips: panjang taman mengikuti sumbu mayor.

Contoh 6. Desain taman berbentuk elips.

Sebuah taman berbentuk elips memiliki panjang 20 m dan lebar 12 m. Pusat taman dijadikan titik asal koordinat dan sumbu panjang sejajar sumbu x. Tentukan persamaan taman dan jarak fokus dari pusat.

Pembahasan: a = 10 dan b = 6.

c² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, sehingga c = 8

x²100 + y²36 = 1

Fokus taman berada 8 m ke kiri dan 8 m ke kanan dari pusat. Jarak kedua fokus adalah 16 m.

Contoh 7. Orbit elips sederhana.

Suatu model orbit memiliki a = 10 satuan dan b = 8 satuan. Tentukan eksentrisitasnya.

Pembahasan: c² = 100 − 64 = 36, sehingga c = 6.

e = 610 = 0,6

Eksentrisitas 0,6 menunjukkan orbit berbentuk elips yang lebih lonjong daripada lingkaran.

K. Latihan Soal

Kerjakan terlebih dahulu secara mandiri. Setelah selesai, tekan tombol Lihat kunci dan pembahasan pada setiap nomor.

1. Tentukan pusat, a, b, dan arah sumbu mayor dari x²36 + y²16 = 1.

Pusat (0,0), a = 6, b = 4. Sumbu mayor mendatar karena penyebut terbesar berada di bawah x². Panjang sumbu mayor 12 dan minor 8.

2. Tentukan fokus elips x²9 + y²25 = 1.

a² = 25 dan b² = 9. Sumbu mayor tegak. c² = 25 − 9 = 16, jadi c = 4. Fokusnya (0,−4) dan (0,4).

3. Tentukan persamaan elips berpusat di (3,−2), sumbu mayor mendatar, a = 4 dan b = 2.

Persamaan baku: (x−3)²16 + (y+2)²4 = 1. Karena pusat (h,k) = (3,−2) dan sumbu mayor mendatar, penyebut a² = 16 berada di bawah suku x.

4. Ubah 4x² + 9y² − 8x + 36y + 4 = 0 menjadi bentuk baku.

Kelompokkan: 4(x²−2x) + 9(y²+4y) = −4. Lengkapi kuadrat: 4[(x−1)²−1] + 9[(y+2)²−4] = −4. Maka 4(x−1)² + 9(y+2)² = 36. Bentuk baku: (x−1)²9 + (y+2)²4 = 1. Pusat (1,−2), a = 3, b = 2.

5. Ubah (x+2)²25 + (y−3)²4 = 1 menjadi bentuk umum.

Kalikan 100: 4(x+2)² + 25(y−3)² = 100. Uraikan: 4x²+16x+16 + 25y²−150y+225 = 100. Jadi 4x² + 25y² + 16x − 150y + 141 = 0.

6. Elips memiliki a = 13 dan c = 5. Tentukan b dan eksentrisitasnya.

b² = a²−c² = 169−25 = 144, sehingga b = 12. Eksentrisitas e = ca = 513.

7. Sebuah lapangan elips memiliki panjang 30 m dan lebar 18 m. Tentukan jarak antara kedua fokusnya.

a = 15 dan b = 9. c² = 225−81 = 144, sehingga c = 12. Jarak kedua fokus = 2c = 24 m.

8. Tentukan pusat, fokus, dan eksentrisitas dari (x−1)²16 + (y+2)²25 = 1.

Pusat (1,−2). Sumbu mayor tegak, a = 5 dan b = 4. c² = 25−16 = 9 sehingga c = 3. Fokus (1,−5) dan (1,1). Eksentrisitas e = 35.

L. Rangkuman

Elips adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya ke dua fokus tetap.
Untuk elips, a² = b² + c² dengan a ≥ b.
Eksentrisitas e = ca dan 0 ≤ e < 1.
Penyebut terbesar pada bentuk baku menunjukkan arah sumbu mayor.
Untuk memperoleh bentuk baku dari bentuk umum, kelompokkan suku sejenis dan lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk memperoleh bentuk umum, hilangkan penyebut, uraikan kuadrat, lalu samakan ruas dengan nol.

Refleksi: Apa yang terjadi pada bentuk elips ketika nilai b semakin mendekati a? Bagaimana perubahan jarak fokusnya? Jelaskan dengan mengacu pada hubungan a² = b² + c².

Materi Irisan Kerucut – Elips | Matematika SMA

Cari Blog Ini

Navigasi Materi