Irisan kerucut: Hiperbola

Matematika SMA · Irisan Kerucut

HIPERBOLA

Memahami konsep, persamaan, unsur-unsur, grafik, dan penerapannya melalui eksplorasi interaktif.

Daftar isi

1. Pengertian hiperbola
2. Unsur-unsur hiperbola
3. Persamaan standar dan asimtot
4. Mengubah persamaan umum ke bentuk standar
5. Menentukan persamaan hiperbola
6. Laboratorium grafik interaktif
7. Contoh soal dan aplikasi
8. Latihan dan pembahasan

1. Pengertian hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada bidang yang memiliki selisih mutlak jarak yang tetap terhadap dua titik tetap. Kedua titik tetap tersebut disebut fokus.

|PF₁ − PF₂| = 2a

Hiperbola termasuk irisan kerucut. Secara geometris, hiperbola terbentuk ketika sebuah bidang memotong kedua nappe (bagian atas dan bawah) kerucut ganda.

Hiperbola horizontal

Cabang membuka ke kiri dan kanan; sumbu transversal sejajar sumbu-x.

Hiperbola vertikal

Cabang membuka ke atas dan bawah; sumbu transversal sejajar sumbu-y.

2. Unsur-unsur hiperbola

Perhatikan istilah berikut. Unsur-unsur ini akan sering digunakan ketika membaca persamaan maupun grafik.

Pusat (C)

Titik tengah hiperbola, terletak di antara kedua puncak dan kedua fokus.

Puncak (vertex)

Dua titik pada hiperbola yang paling dekat dengan pusat, masing-masing pada cabang.

Fokus (F₁ dan F₂)

Dua titik tetap yang menjadi acuan definisi hiperbola.

Sumbu transversal

Sumbu yang melalui kedua puncak dan kedua fokus. Panjangnya 2a.

Sumbu konjugat

Sumbu yang tegak lurus sumbu transversal dan melalui pusat. Panjangnya 2b.

Asimtot

Dua garis yang didekati cabang hiperbola ketika menjauh dari pusat.

Eksentrisitas

Ukuran keterbukaan hiperbola, yaitu e = c/a. Untuk hiperbola, e selalu lebih besar dari 1.

3. Persamaan standar hiperbola

A. Hiperbola horizontal

(x − h)²a² − (y − k)²b² = 1

Pusat C(h,k), puncak (h ± a,k), fokus (h ± c,k), dan asimtot:

y − k = ± ba(x − h)

B. Hiperbola vertikal

(y − k)²a² − (x − h)²b² = 1

Pusat C(h,k), puncak (h,k ± a), fokus (h,k ± c), dan asimtot:

y − k = ± ab(x − h)

Hubungan penting:

c² = a² + b²   atau   c = √(a² + b²)

Berbeda dengan elips yang memiliki c² = a² − b². Pada hiperbola, jarak pusat ke fokus lebih besar daripada jarak pusat ke puncak sehingga c lebih besar daripada a.

Unsur	Horizontal	Vertikal
Pusat	(h,k)	(h,k)
Puncak	(h ± a,k)	(h,k ± a)
Fokus	(h ± c,k)	(h,k ± c)
Asimtot	y − k = ± ba(x − h)	y − k = ± ab(x − h)
Hubungan	c² = a² + b²

4. Mengubah persamaan umum menjadi bentuk standar

Bentuk umum hiperbola tanpa suku xy dapat ditulis:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Untuk hiperbola, koefisien x² dan y² berlainan tanda. Langkah mengubahnya:

1. Kelompokkan suku x dan suku y.
2. Faktorkan koefisien x² dan y² dari kelompok masing-masing.
3. Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
4. Lengkapi kuadrat sempurna pada kelompok x dan y.
5. Samakan ruas kanan menjadi 1 dengan membagi seluruh persamaan.
6. Baca pusat, a², b², lalu tentukan c.

Contoh 1. Ubahlah persamaan 9x² − 4y² − 36x − 16y − 16 = 0 menjadi bentuk standar.

1. Kelompokkan: 9(x² − 4x) − 4(y² + 4y) = 16.
2. Lengkapi kuadrat: 9[(x − 2)² − 4] − 4[(y + 2)² − 4] = 16.
3. Uraikan: 9(x − 2)² − 36 − 4(y + 2)² + 16 = 16.
4. Pindahkan konstanta: 9(x − 2)² − 4(y + 2)² = 36.
5. Bagi 36:

(x − 2)²4 − (y + 2)²9 = 1

Jadi pusat (2,−2), a²=4, b²=9, a=2, b=3, dan c=√13. Hiperbola membuka ke kiri dan kanan.

5. Menentukan persamaan hiperbola dari informasi

Contoh 2. Hiperbola berpusat di (1,−2), memiliki puncak (5,−2) dan fokus (6,−2). Tentukan persamaannya.

1. Karena pusat dan puncak memiliki ordinat sama, hiperbola horizontal.
2. a = jarak pusat ke puncak = 4, sehingga a² = 16.
3. c = jarak pusat ke fokus = 5, sehingga c² = 25.
4. b² = c² − a² = 25 − 16 = 9.

(x − 1)²16 − (y + 2)²9 = 1

Contoh 3. Hiperbola berpusat di (0,0), membuka vertikal, dengan a=3 dan b=4. Tentukan fokus dan asimtotnya.

c² = 3² + 4² = 25, sehingga c=5. Fokusnya (0,5) dan (0,−5).

y²9 − x²16 = 1

Asimtot: y = ±34x

6. Laboratorium grafik hiperbola

Ubahlah orientasi, pusat, serta nilai a dan b. Amati perubahan bentuk grafik, letak puncak, fokus, dan asimtot. Gunakan bilangan positif untuk a dan b.

OrientasiHorizontalVertikal

Pusat h: 0

Pusat k: 0

Nilai a: 2

Nilai b: 3

7. Aplikasi hiperbola

Lintasan navigasi

Model tertentu dalam navigasi radio dapat menggunakan perbedaan jarak terhadap dua pemancar untuk menentukan posisi.

Akustik dan lokasi sumber suara

Perbedaan waktu tibanya suara pada dua sensor dapat menghasilkan selisih jarak. Kumpulan posisi yang memenuhi kondisi tersebut dapat dimodelkan sebagai hiperbola.

Reflektor dan teleskop

Sifat geometri hiperbola dimanfaatkan dalam rancangan optik tertentu, misalnya sistem cermin hiperbolik.

8. Latihan soal

Kerjakan soal berikut terlebih dahulu. Pilih jawaban, lalu tekan tombol periksa. Kunci dan pembahasan dapat dibuka setelah mencoba.

1. Persamaan x²25 − y²9 = 1 menyatakan hiperbola yang .... a. vertikal b. horizontal c. berpusat di (1,1) d. berbentuk lingkaran

Jawaban: B. Suku x² bertanda positif dan menjadi suku pertama, sehingga hiperbola membuka ke kiri dan kanan.

2. Jika a=5 dan b=12, nilai c adalah .... a. 7 b. 13√2 c. 13 d. 17

Jawaban: C. c²=5²+12²=25+144=169, sehingga c=13.

3. Pusat hiperbola (x−3)²16 − (y+1)²9 = 1 adalah .... a. (3,−1) b. (−3,1) c. (3,1) d. (−3,−1)

Jawaban: A. Bandingkan dengan (x−h)²/a² − (y−k)²/b²=1. Maka h=3 dan k=−1.

4. Asimtot hiperbola y²4 − x²9 = 1 adalah .... a. y=±23x b. y=±32x c. y=±43x d. y=±94x

Jawaban: A. Asimtot hiperbola vertikal adalah y=±(a/b)x. Di sini a=2 dan b=3, sehingga y=±23x.

5. Hiperbola horizontal berpusat di (0,0), a=3 dan b=4 memiliki fokus .... a. (±3,0) b. (±5,0) c. (0,±5) d. (0,±4)

Jawaban: B. c=√(9+16)=5. Karena horizontal, fokus berada pada sumbu-x, yaitu (−5,0) dan (5,0).

6. Bentuk standar dari 4x²−9y²−8x−36y−68=0 adalah .... a. (x−1)²9 − (y+2)²4 = 1 b. (y+2)²9 − (x−1)²4 = 1 c. (x+1)²9 − (y−2)²4 = 1 d. (x−1)²4 − (y+2)²9 = 1

Jawaban: A. Persamaan ini jika dilengkapkan kuadrat menghasilkan 4(x−1)²−9(y+2)²=36, sehingga (x−1)²/9−(y+2)²/4=1.

7. Eksentrisitas hiperbola dengan a=4 dan c=5 adalah .... a. 54 b. 45 c. 34 d. 53

Jawaban: A. e=c/a=54=1,25. Eksentrisitas hiperbola selalu lebih besar dari 1.

8. Hiperbola vertikal berpusat di (2,1), a=3 dan b=4. Persamaannya adalah .... a. (x−2)²9 − (y−1)²16 = 1 b. (y+1)²9 − (x+2)²16 = 1 c. (x−2)²16 − (y−1)²9 = 1 d. (y−1)²9 − (x−2)²16 = 1

Jawaban: D. Untuk vertikal, suku y menjadi suku positif pertama: (y−k)²/a²−(x−h)²/b²=1.

Refleksi: Bagaimana cara paling cepat mengenali orientasi hiperbola dari persamaannya? Mengapa nilai c selalu lebih besar daripada a?

Laboratorium Matematika · Kelas-Matematika.com