Himpunan

MATEMATIKA SMP

HIMPUNAN

Himpunan merupakan salah satu konsep dasar matematika. Dengan memahami himpunan, kita dapat mengelompokkan objek, membandingkan kelompok, dan menyelesaikan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran:

• Menjelaskan pengertian himpunan.
• Menyajikan himpunan dengan berbagai cara.
• Menuliskan himpunan menggunakan notasi pembentuk himpunan.
• Menentukan gabungan, irisan, dan pengurangan himpunan.
• Menggunakan diagram Venn untuk menyelesaikan masalah.

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang dapat didefinisikan dengan jelas sehingga dapat ditentukan apakah suatu objek merupakan anggota himpunan tersebut atau bukan.

Contoh 1:

Kumpulan bilangan genap kurang dari 10.

Kumpulan tersebut dapat ditentukan anggotanya dengan jelas, yaitu:

A = {2, 4, 6, 8}

Jadi, A merupakan himpunan.

Contoh 2:

Kumpulan siswa yang pandai di kelas.

Apakah ini merupakan himpunan?

Tidak. Kata "pandai" bersifat relatif dan tidak mempunyai batasan yang jelas.

Simbol dalam Himpunan

Simbol	Arti	Contoh
∈	Anggota himpunan	2 ∈ A
∉	Bukan anggota himpunan	3 ∉ A
∅	Himpunan kosong	B = ∅
⊂	Himpunan bagian sejati	A ⊂ B
∪	Gabungan	A ∪ B
∩	Irisan	A ∩ B
−	Pengurangan atau selisih	A − B
U	Himpunan semesta	U = {1,2,3,...}

2. Cara Penyajian Himpunan

Himpunan dapat disajikan dengan tiga cara utama.

A. Dengan Kata-kata (Deskripsi)

Himpunan dijelaskan menggunakan kalimat yang menyatakan sifat anggotanya.

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 6.

B. Dengan Mendaftar Anggotanya (Roster)

Semua anggota himpunan dituliskan di dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma.

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Setiap anggota dituliskan satu kali saja. Urutan penulisan anggota tidak memengaruhi himpunan.

C. Dengan Notasi Pembentuk Himpunan (Set Builder)

Anggota himpunan tidak ditulis satu per satu, tetapi dinyatakan berdasarkan sifat atau aturan tertentu yang dimiliki oleh anggotanya.

A = {x | x ∈ N, x < 6}

Dibaca: A adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x merupakan bilangan asli dan x kurang dari 6.

Arti simbol pada notasi pembentuk himpunan:

• x : variabel yang menyatakan anggota himpunan.
• | : dibaca "sedemikian sehingga".
• ∈ : merupakan anggota.
• N : himpunan bilangan asli.
• < : kurang dari.

Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

Deskripsi	Notasi pembentuk	Anggota
Bilangan asli kurang dari 6	{x | x ∈ N, x < 6}	{1,2,3,4,5}
Bilangan genap dari 2 sampai 10	{x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 10, x genap}	{2,4,6,8,10}
Bilangan bulat antara -3 dan 4	{x | x ∈ Z, -3 < x < 4}	{-2,-1,0,1,2,3}
Bilangan prima kurang dari 12	{x | x ∈ N, x bilangan prima, x < 12}	{2,3,5,7,11}

Perhatikan!

Simbol N menyatakan bilangan asli, sedangkan Z menyatakan bilangan bulat. Batas pertidaksamaan harus diperhatikan dengan teliti. Misalnya, x < 5 tidak mencakup angka 5, sedangkan x ≤ 5 mencakup angka 5.

Latihan Memahami Notasi Pembentuk

Diketahui:

B = {2, 4, 6, 8, 10}

Notasi pembentuk himpunan yang tepat adalah:

1. {x | x ∈ N, x < 10}
2. {x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 10, x genap}
3. {x | x ∈ N, x bilangan ganjil}

Jawaban: b. Karena anggotanya adalah bilangan genap dari 2 sampai 10.

3. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

A. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan ∅ atau { }.

A = {x | x ∈ N, 2 < x < 3}

Tidak ada bilangan asli di antara 2 dan 3.

A = ∅

B. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang sedang dibicarakan.

Misalnya:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {2, 4, 6, 8, 10}

Maka U adalah himpunan semesta bagi A.

4. Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B apabila setiap anggota A juga merupakan anggota B.

A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ⊂ B

Karena semua anggota A terdapat dalam B.

5. Operasi Himpunan

Operasi himpunan digunakan untuk menggabungkan atau membandingkan anggota dari dua himpunan atau lebih.

A. Gabungan Himpunan (Union)

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya berasal dari A atau B atau keduanya.

A ∪ B

Dibaca: A gabungan B.

Diketahui:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

Maka:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Anggota yang sama hanya ditulis satu kali.

B. Irisan Himpunan (Intersection)

Irisan dua himpunan adalah himpunan yang anggotanya terdapat pada A dan juga terdapat pada B.

A ∩ B

Diketahui:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

Maka:

A ∩ B = {3, 4}

Angka 3 dan 4 merupakan anggota kedua himpunan.

C. Pengurangan atau Selisih Himpunan (Difference)

Pengurangan himpunan A − B adalah himpunan yang berisi anggota A yang tidak terdapat dalam B.

A − B

Diketahui:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

A − B = {1, 2}

B − A = {5, 6}

Perhatikan bahwa A − B berbeda dengan B − A.

Ringkasan Operasi Himpunan

Operasi	Makna	Hasil
A ∪ B	Anggota A atau B	{1,2,3,4,5,6}
A ∩ B	Anggota A dan B	{3,4}
A − B	Anggota A saja	{1,2}
B − A	Anggota B saja	{5,6}

6. Diagram Venn

Diagram Venn adalah gambar yang digunakan untuk menyatakan hubungan antara himpunan. Biasanya himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang, sedangkan himpunan-himpunan di dalamnya digambarkan dengan lingkaran.

A. Diagram Venn Gabungan

Seluruh daerah A dan B merupakan bagian dari A ∪ B.

B. Diagram Venn Irisan

Daerah yang beririsan merupakan anggota A dan B sekaligus.

C. Diagram Venn Selisih A − B

Daerah yang diarsir menunjukkan anggota A yang tidak termasuk B.

Ingat perbedaannya:

• Gabungan: seluruh bagian kedua lingkaran.
• Irisan: bagian lingkaran yang saling bertumpuk.
• A − B: bagian A yang berada di luar B.

7. Menyelesaikan Soal Cerita dengan Diagram Venn

Diagram Venn sangat membantu ketika kita menghadapi soal cerita tentang kelompok orang yang memiliki kesukaan, kegiatan, atau karakteristik tertentu.

Contoh Soal 1: Dua Kegiatan Ekstrakurikuler

Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa.

• 18 siswa mengikuti ekstrakurikuler musik.
• 15 siswa mengikuti ekstrakurikuler olahraga.
• 7 siswa mengikuti keduanya.

Tentukan:

1. Siswa yang hanya mengikuti musik.
2. Siswa yang hanya mengikuti olahraga.
3. Siswa yang mengikuti minimal satu kegiatan.
4. Siswa yang tidak mengikuti keduanya.

Langkah Penyelesaian

Langkah 1: Menentukan bagian irisan.

Siswa yang mengikuti kedua kegiatan = 7 orang.

Langkah 2: Menghitung siswa yang hanya mengikuti musik.

18 − 7 = 11 siswa

Langkah 3: Menghitung siswa yang hanya mengikuti olahraga.

15 − 7 = 8 siswa

Langkah 4: Menghitung siswa yang mengikuti minimal satu kegiatan.

11 + 7 + 8 = 26 siswa

Langkah 5: Menghitung siswa yang tidak mengikuti keduanya.

30 − 26 = 4 siswa

Contoh Soal 2: Tiga Himpunan

Dari 40 siswa:

• 20 siswa menyukai Matematika.
• 18 siswa menyukai IPA.
• 15 siswa menyukai Bahasa Inggris.
• 8 siswa menyukai Matematika dan IPA.
• 7 siswa menyukai Matematika dan Bahasa Inggris.
• 6 siswa menyukai IPA dan Bahasa Inggris.
• 3 siswa menyukai ketiga mata pelajaran.

Tentukan banyak siswa yang tidak menyukai ketiga mata pelajaran tersebut.

Penyelesaian:

Karena 3 siswa menyukai ketiganya, kita mulai dengan mengisi bagian tengah diagram.

Matematika dan IPA saja:

8 − 3 = 5

Matematika dan Bahasa Inggris saja:

7 − 3 = 4

IPA dan Bahasa Inggris saja:

6 − 3 = 3

Matematika saja:

20 − 5 − 4 − 3 = 8

IPA saja:

18 − 5 − 3 − 3 = 7

Bahasa Inggris saja:

15 − 4 − 3 − 3 = 5

Jumlah siswa yang menyukai minimal satu mata pelajaran:

8 + 7 + 5 + 5 + 4 + 3 + 3 = 35

Siswa yang tidak menyukai ketiganya:

40 − 35 = 5 siswa

Jawaban: 5 siswa.

Catatan penting untuk soal tiga himpunan:

Jika data "A dan B" mencakup siswa yang juga menyukai C, maka bagian irisan tiga himpunan harus dikurangi terlebih dahulu untuk mendapatkan bagian A dan B saja.

8. Rumus Penting Himpunan

Gabungan Dua Himpunan

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Keterangan: n(A) menyatakan banyak anggota himpunan A.

Anggota di Luar Gabungan

n(S) − n(A ∪ B)

Gabungan Tiga Himpunan

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

9. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahamanmu.

Soal 1. Diketahui A = {2, 4, 6, 8, 10}. Tuliskan A dalam notasi pembentuk himpunan.

{x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 10, x genap}.

Soal 2. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5} dan Q = {4, 5, 6, 7}. Tentukan P ∪ Q.

P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Soal 3. Diketahui A = {a, b, c, d, e} dan B = {c, d, e, f}. Tentukan A ∩ B.

A ∩ B = {c, d, e}.

Soal 4. Diketahui X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan Y = {2, 4, 6, 8}. Tentukan X − Y dan Y − X.

X − Y = {1, 3, 5}.
Y − X = {8}.

Soal 5. Diketahui himpunan semesta U = {1, 2, 3, ..., 12}. A adalah bilangan genap dan B adalah bilangan kelipatan 3. Tentukan A ∩ B.

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
B = {3, 6, 9, 12}.
A ∩ B = {6, 12}.

Soal 6. (Soal Cerita) Dalam kelas yang terdiri atas 36 siswa, 22 siswa menyukai sepak bola, 17 siswa menyukai bulu tangkis, dan 9 siswa menyukai keduanya.

1. Berapa siswa yang hanya menyukai sepak bola?
2. Berapa siswa yang hanya menyukai bulu tangkis?
3. Berapa siswa yang menyukai minimal satu olahraga?
4. Berapa siswa yang tidak menyukai keduanya?

1. 22 − 9 = 13 siswa.
2. 17 − 9 = 8 siswa.
3. 13 + 9 + 8 = 30 siswa.
4. 36 − 30 = 6 siswa.

Soal 7. (Penalaran) Dari 50 siswa, 28 menyukai Matematika, 25 menyukai IPA, dan 20 menyukai Bahasa Inggris. Sebanyak 12 siswa menyukai Matematika dan IPA, 10 menyukai Matematika dan Bahasa Inggris, 8 menyukai IPA dan Bahasa Inggris, serta 5 siswa menyukai ketiganya. Tentukan banyak siswa yang tidak menyukai satu pun dari ketiga mata pelajaran tersebut.

Banyak siswa yang menyukai minimal satu:
28 + 25 + 20 − 12 − 10 − 8 + 5 = 48.
Siswa yang tidak menyukai satu pun:
50 − 48 = 2 siswa.

10. Kesimpulan

• Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
• Himpunan dapat disajikan dengan kata-kata, mendaftar anggota, dan notasi pembentuk himpunan.
• Gabungan adalah anggota A atau B.
• Irisan adalah anggota A dan B.
• Selisih A − B adalah anggota A yang bukan anggota B.
• Diagram Venn membantu menyelesaikan masalah himpunan secara visual.

Matematika bukan hanya tentang menghitung, tetapi juga tentang mengelompokkan, menghubungkan, dan menemukan pola.