Laboratorium Matematika • SMA

Fungsi Rasional

Memahami bentuk pecahan aljabar, domain, titik potong, asimtot, dan perilaku grafik melalui penjelasan, contoh, serta eksplorasi interaktif.

1. Konsep dasar fungsi rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua polinomial. Penyebutnya tidak boleh bernilai nol.

\(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)},\quad Q(x)\ne 0\)

P(x)
Polinomial pada pembilang.

Q(x)
Polinomial pada penyebut.

Domain
Semua bilangan real yang membuat penyebut tidak nol.

Contoh fungsi rasional

\(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\qquad g(x)=\dfrac{x^2-4}{x+2}\)

Fungsi \(\sqrt{x+2}\) bukan fungsi rasional karena tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua polinomial.

2. Domain fungsi rasional

Untuk menentukan domain, cari nilai yang membuat penyebut sama dengan nol. Nilai tersebut harus dikeluarkan dari domain.

Contoh

\(f(x)=\dfrac{3x+2}{x-4}\)

Syarat penyebut:

\(x-4\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne4\)

Jadi, domainnya adalah semua bilangan real kecuali 4.

Ingat! Jika faktor yang sama pada pembilang dan penyebut disederhanakan, nilai yang membuat penyebut awal nol tetap dikeluarkan dari domain. Nilai tersebut dapat menghasilkan lubang pada grafik.

3. Grafik dasar fungsi rasional

Bentuk paling sederhana adalah \(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Grafiknya memiliki dua cabang yang mendekati sumbu X dan sumbu Y, tetapi tidak pernah menyentuh keduanya.

Domain
\(x\ne0\)

Range
\(y\ne0\)

Asimtot tegak
\(x=0\)

Asimtot mendatar
\(y=0\)

4. Asimtot fungsi rasional

A. Asimtot tegak (vertical asymptote)

Asimtot tegak adalah garis vertikal yang didekati grafik. Untuk menemukannya, faktorkan pembilang dan penyebut, sederhanakan faktor yang sama, lalu cari nilai yang membuat penyebut tersisa sama dengan nol.

\(f(x)=\dfrac{2}{x-3}\quad\Rightarrow\quad x=3\)

B. Asimtot mendatar (horizontal asymptote)

Bandingkan derajat polinomial pembilang dan penyebut.

Perbandingan derajat	Asimtot mendatar
Derajat pembilang lebih kecil	\(y=0\)
Derajat sama	Perbandingan koefisien utama
Derajat pembilang lebih besar	Tidak ada asimtot mendatar

Contoh

\(f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\)

Derajat pembilang dan penyebut sama. Perbandingan koefisien utama adalah \(2:1\), sehingga asimtot mendatar \(y=2\).

5. Transformasi grafik

Salah satu bentuk fungsi rasional yang mudah dianalisis adalah:

\(\boxed{f(x)=\dfrac{a}{x-h}+k}\)

a
Menentukan arah cabang dan peregangan grafik.

h
Menggeser grafik ke kanan atau kiri.

k
Menggeser grafik ke atas atau bawah.

(h,k)
Pusat pergeseran, yaitu perpotongan kedua asimtot.

Asimtot tegaknya \(x=h\), sedangkan asimtot mendatarnya \(y=k\). Jika \(a\) positif, cabang berada di kanan-atas dan kiri-bawah relatif terhadap pusat. Jika \(a\) negatif, posisinya berlawanan.

6. Laboratorium grafik interaktif

Geser pengatur nilai \(a\), \(h\), dan \(k\). Amati perubahan grafik dan kedua asimtotnya. Grafik dapat diperbesar atau diperkecil melalui pengatur skala.

f(x) = 1x - 0 + 0

Nilai a 1

Pergeseran h 0

Pergeseran k 0

Skala grafik 10

Grafik fungsi Asimtot tegak Asimtot mendatar

Asimtot tegak: x = 0
Asimtot mendatar: y = 0

Catatan: jika a = 0, fungsi menjadi garis horizontal y = k dan tidak memiliki asimtot tegak.

Pertanyaan eksplorasi

1. Atur \(a=1,h=0,k=0\). Amati bentuk awal grafik!
2. Ubah \(a\) menjadi \(-1\). Apa yang berubah?
3. Ubah \(h\) menjadi 3. Ke mana grafik bergeser?
4. Ubah \(k\) menjadi 2. Bagaimana posisi asimtot mendatarnya?
5. Gunakan \(a=2,h=-2,k=1\). Tuliskan kedua persamaan asimtot!

7. Titik potong sumbu X dan sumbu Y

Titik potong sumbu X

Jika penyebut tidak nol, titik potong sumbu X diperoleh dengan membuat pembilang sama dengan nol.

\(f(x)=\dfrac{2x+4}{x-2}\quad\Rightarrow\quad 2x+4=0\quad\Rightarrow\quad x=-2\)

Titik potong sumbu X adalah \((-2,0)\).

Titik potong sumbu Y

Substitusikan \(x=0\), selama \(x=0\) termasuk domain.

\(f(0)=\dfrac{2(0)+4}{0-2}=-2\)

Titik potong sumbu Y adalah \((0,-2)\).

8. Lubang pada grafik (removable discontinuity)

Tidak semua nilai yang membuat penyebut nol menghasilkan asimtot tegak. Jika faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dapat dicoret, grafik memiliki lubang pada titik tertentu.

\(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\quad x\ne2\)

Bentuk grafiknya adalah garis \(y=x+2\), tetapi titik saat \(x=2\) tidak termasuk. Koordinat lubangnya adalah \((2,4)\).

Bedakan: faktor penyebut yang masih tersisa setelah penyederhanaan menghasilkan asimtot tegak. Faktor yang habis dicoret menghasilkan lubang.

9. Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1 — Menentukan domain

Diketahui \(f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-9}\). Tentukan domainnya!

\(x^2-9\ne0\)

\((x-3)(x+3)\ne0\)

Jadi, domain adalah semua bilangan real kecuali \(x=-3\) dan \(x=3\).

Contoh 2 — Menentukan asimtot

Diketahui \(f(x)=\dfrac{3x-2}{x+4}\).

Asimtot tegak diperoleh dari \(x+4=0\), yaitu \(x=-4\).

Derajat pembilang dan penyebut sama, sehingga asimtot mendatar adalah perbandingan koefisien utama:

\(y=\dfrac{3}{1}=3\)

Contoh 3 — Menentukan persamaan fungsi

Fungsi memiliki asimtot tegak \(x=2\), asimtot mendatar \(y=3\), dan melalui titik \((3,5)\). Tentukan fungsinya!

\(f(x)=\dfrac{a}{x-2}+3\)

\(5=\dfrac{a}{3-2}+3\Rightarrow a=2\)

Jadi, \(\boxed{f(x)=\dfrac{2}{x-2}+3}\).

Contoh 4 — Menentukan range

Diketahui \(f(x)=\dfrac{4}{x-1}+2\). Pecahan tidak mungkin bernilai nol, sehingga \(f(x)\) tidak pernah sama dengan 2.

Range adalah semua bilangan real kecuali \(y=2\).

Contoh 5 — Menentukan lubang grafik

Diketahui \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\).

\(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\quad x\ne2\)

Grafiknya berupa garis \(y=x+2\) dengan lubang di \((2,4)\). Domainnya semua bilangan real kecuali 2.

10. Latihan soal

Kerjakan soal berikut terlebih dahulu. Pilih satu jawaban untuk setiap soal pilihan ganda, lalu tekan tombol periksa untuk mengetahui hasilnya.

1. Domain fungsi \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-5}\) adalah ... A. Semua bilangan real B. Semua real kecuali 5 C. Semua real kecuali −5 D. Semua bilangan real positif

2. Asimtot tegak dari \(f(x)=\dfrac{3}{x+2}\) adalah ... A. \(x=3\) B. \(y=2\) C. \(x=-2\) D. \(y=-2\)

3. Asimtot mendatar dari \(f(x)=\dfrac{4x+7}{2x-3}\) adalah ... A. \(y=2\) B. \(y=4\) C. \(x=2\) D. \(y=-3\)

4. Range fungsi \(f(x)=\dfrac{5}{x-3}+4\) adalah ... A. Semua real kecuali 3 B. Semua real kecuali 4 C. Semua real kecuali −4 D. Semua bilangan real

5. Grafik \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\) memiliki ... A. Asimtot tegak \(x=3\) B. Asimtot mendatar \(y=3\) C. Lubang di \((3,6)\) D. Lubang di \((3,3)\)

Soal uraian

6. Diketahui \(f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}\). Tentukan domain, kedua asimtot, serta titik potong sumbu X dan Y!
7. Diketahui \(f(x)=\dfrac{2x-6}{x+1}\). Tentukan titik potong sumbu X dan Y serta kedua asimtotnya!
8. Suatu fungsi rasional mempunyai asimtot tegak \(x=-3\), asimtot mendatar \(y=2\), dan melalui titik \((-2,5)\). Tentukan persamaan fungsinya!
9. Diketahui \(f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}\). Tentukan domain, bentuk sederhana, dan koordinat lubang grafiknya!
10. Biaya rata-rata produksi dimodelkan oleh \(C(x)=\dfrac{120}{x}+15\), dengan \(x\) jumlah unit dan \(C(x)\) dalam ribuan rupiah. Tentukan biaya rata-rata untuk 10 unit, 20 unit, serta nilai yang didekati ketika produksi semakin besar!

11. Kunci jawaban dan pembahasan

Kunci pilihan ganda

1. B. Penyebut nol ketika \(x=5\).
2. C. \(x+2=0\Rightarrow x=-2\).
3. A. Perbandingan koefisien utama \(4/2=2\).
4. B. Range tidak memuat \(y=4\).
5. C. Bentuk sederhananya \(x+3\), tetapi \(x=3\) dikecualikan. Lubangnya \((3,6)\).

Pembahasan soal uraian

6. Domain \(x\ne2\); asimtot tegak \(x=2\); asimtot mendatar \(y=1\); titik potong X \((-3,0)\); titik potong Y \((0,-\frac{3}{2})\).

7. Titik potong X \((3,0)\); titik potong Y \((0,-6)\); asimtot tegak \(x=-1\); asimtot mendatar \(y=2\).

8. Bentuk \(f(x)=\dfrac{a}{x+3}+2\). Substitusi \((-2,5)\): \(5=a+2\), sehingga \(a=3\). Jadi \(f(x)=\dfrac{3}{x+3}+2\).

9. \(f(x)=\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\), dengan \(x\ne4\). Domain semua real kecuali 4 dan lubang di \((4,8)\).

10. \(C(10)=120/10+15=27\), yaitu Rp27.000 per unit. \(C(20)=120/20+15=21\), yaitu Rp21.000 per unit. Ketika \(x\to\infty\), \(C(x)\to15\), yaitu mendekati Rp15.000 per unit.

12. Tantangan eksplorasi

Sebuah grafik memiliki asimtot tegak \(x=2\), asimtot mendatar \(y=-1\), dan melalui titik \((3,2)\).

1. Tentukan persamaan fungsi rasionalnya!
2. Tentukan titik potong sumbu X dan sumbu Y!
3. Tentukan domain dan range!
4. Jelaskan posisi cabang grafik terhadap titik pusat asimtot!

Lihat petunjuk dan jawaban

Gunakan \(f(x)=\dfrac{a}{x-2}-1\). Substitusi titik \((3,2)\): \(2=a-1\), sehingga \(a=3\).

Persamaan: \(f(x)=\dfrac{3}{x-2}-1\).

Titik potong X: \((5,0)\). Titik potong Y: \((0,-\frac{5}{2})\). Domain \(x\ne2\), range \(y\ne-1\). Karena \(a\) positif, cabangnya berada di kanan-atas dan kiri-bawah relatif terhadap pusat \((2,-1)\).

Kelas-Matematika.com
Belajar memahami konsep, melihat pola, dan menemukan matematika melalui eksplorasi.