Bilangan Kompleks

ℂ

BILANGAN KOMPLEKS

Operasi • Konjugat • Modulus • Bidang Kompleks

Matematika SMA | Belajar, memahami, dan bereksplorasi

1. Mengenal Bilangan Kompleks

Selama ini kita mengenal bilangan real, seperti 2, −5, ½, dan √3. Namun, bagaimana jika kita menghadapi persamaan:

x² + 1 = 0

Jika diselesaikan, diperoleh x² = −1. Tidak ada bilangan real yang kuadratnya bernilai −1. Oleh karena itu, diperkenalkan satu bilangan baru, yaitu bilangan imajiner.

i² = −1    atau    i = √(−1)

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri atas bagian real dan bagian imajiner.

z = a + bi

Keterangan:

• a = bagian real, ditulis Re(z).
• b = koefisien bagian imajiner, ditulis Im(z).
• i = satuan imajiner dengan i² = −1.

Contoh:
z = 4 + 3i
Re(z) = 4
Im(z) = 3

Ingat! Bagian imajiner adalah koefisien i, bukan seluruh suku bi. Jadi, Im(4 + 3i) = 3.

Pangkat-pangkat bilangan imajiner

Perhatikan pola berikut:

Pangkat	Nilai
i⁰	1
i¹	i
i²	−1
i³	−i
i⁴	1

Pola tersebut berulang setiap empat pangkat. Untuk menentukan iⁿ, gunakan sisa pembagian n oleh 4.

Contoh:
i²⁷ = i³ = −i, karena 27 dibagi 4 bersisa 3.

2. Operasi Bilangan Kompleks

Misalkan terdapat dua bilangan kompleks:

z₁ = a + bi    dan    z₂ = c + di

A. Penjumlahan

Jumlahkan bagian real dengan bagian real dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Contoh:
(3 + 2i) + (4 − 5i)
= (3 + 4) + (2 − 5)i
= 7 − 3i

B. Pengurangan

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

Contoh:
(7 + 5i) − (2 + 3i)
= (7 − 2) + (5 − 3)i
= 5 + 2i

C. Perkalian

Gunakan sifat distributif, kemudian ganti i² dengan −1.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Contoh:
(2 + 3i)(4 + i)
= 8 + 2i + 12i + 3i²
= 8 + 14i − 3
= 5 + 14i

D. Pembagian

Untuk membagi dua bilangan kompleks, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.

a+bic+di = (a+bi)(c−di)c²+d²

Contoh:
3+2i1+i

Kalikan dengan konjugat penyebut:
= (3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)

= 3−3i+2i−2i²1−i²

= 5−i2

= 5/2 − 1/2 i

Penyebut hasil pembagian selalu berupa bilangan real, selama penyebut bilangan kompleks tidak nol.

3. Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengubah tanda bagian imajinernya, sedangkan bagian real tetap.

Jika z = a + bi, maka z̄ = a − bi

Simbol z̄ dibaca z bar.

Contoh:
z = 5 + 3i
Konjugatnya adalah z̄ = 5 − 3i.

Jika z = −2 − 7i, maka z̄ = −2 + 7i.

Sifat-sifat konjugat

• z + z̄ = 2a
• z − z̄ = 2bi
• z × z̄ = a² + b²
• Konjugat dari konjugat z adalah z.

Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya selalu berupa bilangan real nonnegatif.

4. Modulus Bilangan Kompleks

Modulus adalah jarak suatu bilangan kompleks dari titik asal (0,0) pada bidang kompleks.

|z| = √(a² + b²)

Jika z = a + bi, maka modulusnya dihitung menggunakan teorema Pythagoras.

Contoh:
z = 3 + 4i
|z| = √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5

Hubungan konjugat dan modulus

z × z̄ = |z|²

Artinya, perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan kuadrat modulus.

5. Bidang Kompleks (Bidang Argand)

Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai titik pada bidang koordinat yang disebut bidang Argand.

Sumbu horizontal
Menunjukkan bagian real (Re).

Sumbu vertikal
Menunjukkan bagian imajiner (Im).

Bilangan kompleks z = a + bi direpresentasikan sebagai titik P(a,b).

Contohnya, z = 3 + 2i direpresentasikan sebagai titik (3,2).

Laboratorium Interaktif Bidang Kompleks

Ubah nilai bagian real dan imajiner. Amati posisi z, konjugatnya, serta modulusnya!

Bagian real (a):

Bagian imajiner (b):

z = 3 + 2i

● z (biru)    ● konjugat z̄ (oranye)

Memahami refleksi konjugat

Perhatikan bahwa z dan z̄ mempunyai koordinat real yang sama, tetapi koordinat imajinernya berlawanan tanda. Keduanya saling mencerminkan terhadap sumbu real.

Jarak titik z terhadap titik asal sama dengan jarak titik z̄ terhadap titik asal. Dengan demikian, |z| = |z̄|.

6. Kalkulator Operasi Bilangan Kompleks

Masukkan dua bilangan kompleks dan pilih operasi yang diinginkan.

Bilangan pertama

a =

b =

Bilangan kedua

c =

d =

Operasi: Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian

Hasil perhitungan akan muncul di sini.

7. Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1. Diketahui z = −4 + 3i. Tentukan Re(z), Im(z), konjugat, dan modulusnya.

Pembahasan:
Re(z) = −4
Im(z) = 3
z̄ = −4 − 3i
|z| = √((-4)² + 3²)
= √(16 + 9) = 5

Soal 2. Hitung (2 − 3i)(1 + 2i).

Pembahasan:
= 2 + 4i − 3i − 6i²
= 2 + i + 6
= 8 + i

Soal 3. Jika |z| = 13 dan bagian real z adalah 5, tentukan bagian imajiner z.

Pembahasan:
13² = 5² + b²
169 = 25 + b²
b² = 144
b = ±12
Jadi, z = 5 + 12i atau 5 − 12i.

Soal 4. Tentukan hasil (4 + 2i)/(1 − i).

Pembahasan:
= ((4 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i))
= (4 + 4i + 2i + 2i²)/2
= (2 + 6i)/2
= 1 + 3i

8. Latihan Interaktif

Kerjakan soal berikut. Pilih satu jawaban yang paling tepat, lalu tekan tombol periksa.

Selamat belajar! Kerjakan semua soal terlebih dahulu.

9. Refleksi Pembelajaran

Setelah mempelajari bilangan kompleks, renungkan pertanyaan berikut:

1. Mengapa diperlukan bilangan imajiner?
2. Apa hubungan antara konjugat dan modulus?
3. Mengapa bilangan kompleks dapat direpresentasikan pada bidang koordinat?
4. Bagaimana konsep Pythagoras digunakan untuk menentukan modulus?

Nilai karakter: Belajar matematika melatih ketelitian, ketekunan, dan keberanian untuk mengeksplorasi hal-hal baru. Kita diajak untuk tidak berhenti belajar ketika menemukan sesuatu yang belum kita pahami.

LABORATORIUM MATEMATIKA

Belajar • Bereksplorasi • Menemukan

Kelas-Matematika.com