Matematika SMP

BARISAN DAN DERET
ARITMETIKA & GEOMETRI

Mengenali pola bilangan, menemukan suku berikutnya, dan menghitung jumlah suku melalui contoh yang dekat dengan kehidupan sehari-hari.

Tujuan pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan pengertian barisan dan deret.
• Mengenali pola barisan aritmetika dan geometri.
• Menentukan beda atau rasio suatu barisan.
• Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama.
• Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret.

A. Mengenal Barisan dan Deret

1. Barisan bilangan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang mengikuti pola atau aturan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku.

Contoh:

2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Barisan tersebut bertambah 2 setiap langkah. Bilangan 2 adalah suku pertama, 4 suku kedua, 6 suku ketiga, dan seterusnya.

2. Deret bilangan

Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan.

Barisan

3, 6, 9, 12, ...

Berupa urutan bilangan.

Deret

3 + 6 + 9 + 12 + ...

Berupa penjumlahan bilangan.

Perhatikan perbedaannya: barisan menyatakan urutan suku, sedangkan deret menyatakan jumlah dari suku-suku tersebut.

B. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Pengertian barisan aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. Selisih tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b atau d.

Contoh:

4, 7, 10, 13, 16, ...

Perhatikan selisih antarsuku:

7 − 4 = 3   |   10 − 7 = 3   |   13 − 10 = 3

Jadi, beda barisan tersebut adalah b = 3.

Beda dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

• Beda positif: 2, 5, 8, 11, ... (bertambah).
• Beda negatif: 20, 16, 12, 8, ... (berkurang).
• Beda nol: 7, 7, 7, 7, ... (tetap).

2. Menentukan suku ke-n barisan aritmetika

Untuk menentukan suku tertentu, kita dapat menggunakan rumus berikut.

U_n = a + (n − 1)b

a = suku pertama, b = beda, n = nomor suku, dan U_n = suku ke-n.

Contoh soal 1

Diketahui barisan 5, 8, 11, 14, ... Tentukan suku ke-10.

Penyelesaian:

1. Suku pertama: a = 5.
2. Beda: b = 8 − 5 = 3.
3. Nomor suku: n = 10.
4. Gunakan rumus:

U₁₀ = 5 + (10 − 1) × 3

= 5 + 9 × 3 = 5 + 27

U₁₀ = 32

Contoh soal 2: Beda negatif

Diketahui barisan 30, 26, 22, 18, ... Tentukan suku ke-8.

a = 30 dan b = 26 − 30 = −4.

U₈ = 30 + (8 − 1)(−4)

= 30 − 28 = 2

3. Menentukan beda dan suku pertama

Jika diketahui dua suku yang tidak berurutan, beda dapat dicari dengan memperhatikan jarak nomor sukunya.

b = U_q − U_pq − p

Contoh soal

Diketahui U₃ = 11 dan U₇ = 27. Tentukan beda barisan tersebut.

b = 27 − 117 − 3 = 164 = 4

Untuk mencari suku pertama:

U₃ = a + (3 − 1)b

11 = a + 2(4)   →   a = 3

4. Pengertian deret aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmetika.

2 + 5 + 8 + 11 + 14

Jumlah lima suku pertama disebut S₅.

5. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika

S_n = n2 (a + U_n)

atau

S_n = n2 [2a + (n − 1)b]

S_n = jumlah n suku pertama.

Contoh soal

Hitung jumlah 10 suku pertama dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + ...

1. a = 2, b = 3, dan n = 10.
2. Tentukan suku ke-10:

U₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29

3. Gunakan rumus jumlah:

S₁₀ = 102 (2 + 29)

= 5 × 31 = 155

6. Contoh aplikasi aritmetika dalam kehidupan

Aplikasi 1 – Menabung secara teratur

Rani menabung Rp5.000 pada minggu pertama. Setiap minggu, jumlah uang yang ditabung bertambah Rp2.000. Berapa uang yang ditabung pada minggu ke-8?

a = 5.000, b = 2.000, n = 8.

U₈ = 5.000 + (8 − 1) × 2.000

= 5.000 + 14.000 = Rp19.000

Aplikasi 2 – Susunan kursi

Baris pertama sebuah aula memiliki 12 kursi. Setiap baris berikutnya memiliki 3 kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Jika terdapat 10 baris, berapa jumlah seluruh kursi?

a = 12, b = 3, n = 10.

Suku ke-10:

U₁₀ = 12 + 9 × 3 = 39

Jumlah seluruh kursi:

S₁₀ = 102 (12 + 39)

= 5 × 51 = 255 kursi

Aplikasi 3 – Menyusun batu bata

Susunan batu bata dibuat bertingkat. Tingkat pertama terdiri atas 20 batu bata. Setiap tingkat berikutnya berkurang 2 batu bata. Jika terdapat 8 tingkat, berapa jumlah batu bata seluruhnya?

a = 20, b = −2, n = 8.

U₈ = 20 + 7(−2) = 6

S₈ = 82 (20 + 6) = 4 × 26 = 104 batu bata

C. Barisan dan Deret Geometri

1. Pengertian barisan geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki perbandingan atau hasil bagi tetap antara dua suku berurutan. Perbandingan tetap tersebut disebut rasio dan dilambangkan dengan r.

Contoh:

3, 6, 12, 24, 48, ...

Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2.

63 = 2   dan   126 = 2

Jadi, rasio barisan tersebut adalah r = 2.

Rasio dapat berupa bilangan positif, negatif, pecahan, atau lebih dari satu.

Rasio lebih dari 1

2, 4, 8, 16, ...

Nilai suku membesar.

Rasio antara 0 dan 1

80, 40, 20, 10, ...

Nilai suku mengecil.

Rasio negatif

3, −6, 12, −24, ...

Tanda suku bergantian.

Rasio pecahan

16, 8, 4, 2, ...

Setiap suku dikali 1/2.

2. Menentukan rasio

r = U_nU_n−1

Contoh soal

Tentukan rasio dari barisan 5, 15, 45, 135, ...

r = 155 = 3

Jadi, setiap suku dikalikan 3.

3. Menentukan suku ke-n barisan geometri

U_n = a × rⁿ⁻¹

a = suku pertama, r = rasio, n = nomor suku.

Contoh soal 1

Diketahui barisan 2, 6, 18, 54, ... Tentukan suku ke-6.

a = 2, r = 3, n = 6.

U₆ = 2 × 3⁶⁻¹

= 2 × 3⁵ = 2 × 243

U₆ = 486

Contoh soal 2 – Rasio pecahan

Diketahui barisan 64, 32, 16, 8, ... Tentukan suku ke-6.

a = 64 dan r = 3264 = 12.

U₆ = 64 × (12)⁵

= 64 × 132 = 2

4. Pengertian deret geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri.

2 + 6 + 18 + 54 + ...

5. Jumlah n suku pertama deret geometri

Untuk r tidak sama dengan 1, rumus jumlah n suku pertama adalah:

S_n = a × rⁿ − 1r − 1, untuk r > 1

atau

S_n = a × 1 − rⁿ1 − r, untuk r < 1

Kedua bentuk tersebut setara jika digunakan sesuai nilai r. Jika r = 1, maka S_n = n × a.

Contoh soal

Hitung jumlah 5 suku pertama dari deret 2 + 6 + 18 + 54 + ...

a = 2, r = 3, n = 5.

S₅ = 2 × 3⁵ − 13 − 1

= 2 × 243 − 12

= 2 × 121 = 242

Pemeriksaan: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

6. Contoh aplikasi geometri dalam kehidupan

Aplikasi 1 – Perkembangbiakan bakteri (model sederhana)

Dalam suatu model, jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap satu jam. Jika mula-mula terdapat 5 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 6 jam?

Jumlah awal 5, rasio 2. Setelah 6 jam berarti terjadi 6 kali pelipatan:

5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320 bakteri

Catatan: model ini menganggap kondisi pertumbuhan tetap dan tidak ada bakteri yang mati atau faktor pembatas.

Aplikasi 2 – Pantulan bola

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 16 meter. Setiap pantulan mencapai setengah dari tinggi sebelumnya. Berapa tinggi pantulan ke-4?

Tinggi pantulan membentuk barisan 8, 4, 2, 1, ... karena pantulan pertama adalah setengah dari tinggi awal.

a = 8, r = 12, n = 4.

U₄ = 8 × (12)³

= 8 × 18 = 1 meter

Aplikasi 3 – Susunan hadiah

Panitia menyusun paket hadiah. Baris pertama berisi 3 paket, baris kedua 6 paket, baris ketiga 12 paket, dan seterusnya. Jika terdapat 5 baris, berapa jumlah paket seluruhnya?

a = 3, r = 2, n = 5.

S₅ = 3 × 2⁵ − 12 − 1

= 3 × 31 = 93 paket

D. Perbedaan Barisan Aritmetika dan Geometri

Aspek	Aritmetika	Geometri
Pola	Selisih tetap	Perbandingan tetap
Nama nilai tetap	Beda (b)	Rasio (r)
Operasi	Tambah atau kurang	Kali atau bagi
Contoh	3, 7, 11, 15, ...	3, 6, 12, 24, ...
Suku ke-n	a + (n − 1)b	a × rn−1

Trik mengenali pola: hitung selisih antarsuku terlebih dahulu. Jika selisihnya tetap, kemungkinan barisan aritmetika. Jika tidak, periksa hasil bagi suku berurutan. Jika hasil baginya tetap, barisan tersebut geometri.

E. Ringkasan Rumus

Materi	Rumus
Beda aritmetika	b = U2 − U1
Suku ke-n aritmetika	Un = a + (n − 1)b
Jumlah deret aritmetika	Sn = n2(a + Un)
Rasio geometri	r = U2U1
Suku ke-n geometri	Un = a × rn−1
Jumlah geometri (r > 1)	Sn = a × rn − 1r − 1
Jumlah geometri (r < 1)	Sn = a × 1 − rn1 − r

Keterangan: a = suku pertama, b = beda, r = rasio, n = nomor atau banyak suku, U_n = suku ke-n, dan S_n = jumlah n suku pertama.

F. Latihan Soal

Kerjakan soal berikut secara mandiri. Tuliskan langkah penyelesaian, bukan hanya jawabannya. Kunci dan pembahasan tersedia setelah latihan.

Bagian 1 – Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan 4, 9, 14, 19, ... memiliki beda ....

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6

2. Suku ke-12 dari barisan 3, 7, 11, 15, ... adalah ....

1. 43
2. 45
3. 47
4. 49

3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 8 dan beda 6. Nilai U₁₀ adalah ....

1. 56
2. 60
3. 62
4. 68

4. Diketahui U₄ = 17 dan U₉ = 37. Beda barisan tersebut adalah ....

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6

5. Jumlah 10 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ... adalah ....

1. 100
2. 110
3. 120
4. 130

6. Jumlah 8 suku pertama dari deret 5 + 8 + 11 + 14 + ... adalah ....

1. 108
2. 112
3. 124
4. 128

Bagian 2 – Barisan dan Deret Geometri

7. Rasio dari barisan 2, 6, 18, 54, ... adalah ....

1. 2
2. 3
3. 4
4. 6

8. Suku ke-6 dari barisan 3, 6, 12, 24, ... adalah ....

1. 48
2. 72
3. 96
4. 108

9. Barisan 81, 27, 9, 3, ... memiliki rasio ....

1. 3
2. 12
3. 13
4. −3

10. Suku ke-5 dari barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3 adalah ....

1. 54
2. 81
3. 162
4. 243

11. Jumlah 4 suku pertama dari deret 2 + 4 + 8 + 16 + ... adalah ....

1. 28
2. 30
3. 32
4. 34

12. Jumlah 5 suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + 24 + ... adalah ....

1. 75
2. 81
3. 90
4. 93

Bagian 3 – Soal Aplikasi

13. Seseorang menabung Rp10.000 pada minggu pertama. Setiap minggu jumlah yang ditabung bertambah Rp5.000. Berapa uang yang ditabung pada minggu ke-9?

14. Baris pertama aula memiliki 15 kursi. Setiap baris berikutnya memiliki 4 kursi lebih banyak. Jika terdapat 12 baris, berapa jumlah seluruh kursi?

15. Sebuah bola memantul hingga mencapai setengah tinggi pantulan sebelumnya. Jika tinggi pantulan pertama 12 meter, berapa tinggi pantulan ke-5?

16. Sebuah tanaman air berkembang menjadi dua kali lipat setiap hari. Jika pada hari pertama terdapat 3 tanaman, berapa banyak tanaman pada hari ke-6 menurut pola tersebut?

17. Sebuah gedung memiliki susunan lampu hias. Baris pertama terdiri atas 5 lampu, baris kedua 8 lampu, baris ketiga 11 lampu, dan seterusnya. Berapa jumlah lampu pada 10 baris pertama?

18. Sebuah pita dipotong menjadi beberapa bagian. Panjang potongan pertama 96 cm dan setiap potongan berikutnya setengah panjang potongan sebelumnya. Berapa jumlah panjang 5 potongan pertama?

G. Kunci Jawaban dan Pembahasan

Cobalah mengerjakan terlebih dahulu. Klik setiap nomor untuk membuka jawaban dan pembahasannya.

Nomor 1 – Jawaban C (5)

Beda adalah selisih dua suku berurutan: 9 − 4 = 5.

Nomor 2 – Jawaban C (47)

a = 3, b = 4, n = 12. U₁₂ = 3 + (12 − 1) × 4 = 3 + 44 = 47.

Nomor 3 – Jawaban C (62)

a = 8, b = 6, n = 10. U₁₀ = 8 + (10 − 1) × 6 = 8 + 54 = 62.

Nomor 4 – Jawaban B (4)

b = (U₉ − U₄) ÷ (9 − 4) = (37 − 17) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4.

Nomor 5 – Jawaban B (110)

a = 2, b = 2, n = 10. U₁₀ = 2 + 9 × 2 = 20. S₁₀ = 102 × (2 + 20) = 5 × 22 = 110.

Nomor 6 – Jawaban C (124)

a = 5, b = 3, n = 8. U₈ = 5 + 7 × 3 = 26. S₈ = 82 × (5 + 26) = 4 × 31 = 124.

Nomor 7 – Jawaban B (3)

Rasio = 6 ÷ 2 = 3.

Nomor 8 – Jawaban C (96)

a = 3, r = 2, n = 6. U₆ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.

Nomor 9 – Jawaban C (1/3)

r = 27 ÷ 81 = 13.

Nomor 10 – Jawaban C (162)

a = 2, r = 3, n = 5. U₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.

Nomor 11 – Jawaban B (30)

a = 2, r = 2, n = 4. S₄ = 2 × (2⁴ − 1)/(2 − 1) = 2 × 15 = 30. Pemeriksaan: 2 + 4 + 8 + 16 = 30.

Nomor 12 – Jawaban D (93)

a = 3, r = 2, n = 5. S₅ = 3 × (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3 × 31 = 93.

Nomor 13 – Jawaban Rp50.000

a = Rp10.000, b = Rp5.000, n = 9. U₉ = 10.000 + 8 × 5.000 = Rp50.000.

Nomor 14 – Jawaban 444 kursi

a = 15, b = 4, n = 12. U₁₂ = 15 + 11 × 4 = 59. Jumlah kursi = S₁₂ = 122 × (15 + 59) = 6 × 74 = 444 kursi.

Nomor 15 – Jawaban 0,75 meter

Tinggi pantulan membentuk barisan geometri: a = 12 m, r = 1/2. Pantulan ke-5: U₅ = 12 × (1/2)⁴ = 1216 = 0,75 meter.

Nomor 16 – Jawaban 96 tanaman

Hari pertama 3 tanaman. Setiap hari jumlahnya dua kali lipat. Hari ke-6 berarti U₆ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96 tanaman.

Nomor 17 – Jawaban 185 lampu

a = 5, b = 3, n = 10. U₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. S₁₀ = 102 × (5 + 32) = 5 × 37 = 185 lampu.

Nomor 18 – Jawaban 186 cm

Barisan potongan: 96, 48, 24, 12, 6. Jumlah lima potongan = 96 + 48 + 24 + 12 + 6 = 186 cm. Dapat pula dihitung dengan rumus deret geometri: S₅ = 96 × [1 − (1/2)⁵] ÷ [1 − 1/2] = 186 cm.

Refleksi Pembelajaran

1. Apa perbedaan barisan dan deret?
2. Bagaimana cara membedakan barisan aritmetika dan geometri?
3. Apa yang dimaksud dengan beda dan rasio?
4. Kapan kita menggunakan rumus suku ke-n dan kapan menggunakan rumus jumlah n suku pertama?
5. Sebutkan satu contoh pola aritmetika dan satu contoh pola geometri dalam kehidupan sehari-hari.

Matematika Ada di Sekitar Kita!

Pola bilangan dapat ditemukan pada tabungan yang bertambah teratur, susunan kursi, pola ubin, pertumbuhan, dan pantulan bola. Dengan memahami barisan dan deret, kita belajar melihat keteraturan dan memprediksi apa yang terjadi berikutnya.

Amati polanya, pahami aturannya, lalu temukan jawabannya!