Transformasi Fungsi

MATEMATIKA SMA

Transformasi Fungsi

Jelajahi bagaimana grafik fungsi bergeser, dicerminkan, diregangkan, dan dimampatkan melalui persamaan matematika dan eksplorasi interaktif.

Tujuan: memahami hubungan antara perubahan persamaan dan perubahan grafik fungsi.

Daftar Materi

1. Konsep Dasar

2. Translasi

3. Refleksi

4. Dilatasi

5. Komposisi Transformasi

6. Laboratorium Grafik

7. Contoh Soal

8. Latihan dan Evaluasi

9. Aplikasi dalam Kehidupan

1. Konsep Dasar Transformasi Fungsi

Transformasi fungsi adalah perubahan posisi, arah, atau ukuran grafik suatu fungsi berdasarkan perubahan pada persamaannya.

Misalkan fungsi awal adalah:

f(x) = x²

Grafiknya berupa parabola dengan titik puncak (0, 0). Jika fungsi berubah menjadi:

g(x) = (x - 2)² + 3

Grafik bergeser 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas. Bentuk parabolanya tetap sama.

Translasi

Pergeseran grafik tanpa mengubah bentuk dan ukuran.

Geser

Refleksi

Pencerminan grafik terhadap sumbu koordinat.

Cermin

Dilatasi

Perubahan skala grafik secara vertikal atau horizontal.

Skala

Komposisi

Gabungan dua atau lebih transformasi.

Gabungan

2. Translasi (Pergeseran)

A. Translasi vertikal

g(x) = f(x) + k

• Jika k positif, grafik bergeser ke atas.
• Jika k negatif, grafik bergeser ke bawah.

Contoh:

f(x) = x²
g(x) = x² + 4

Grafik bergeser 4 satuan ke atas. Titik puncaknya berubah dari (0, 0) menjadi (0, 4).

B. Translasi horizontal

g(x) = f(x - h)

• Jika h positif, grafik bergeser ke kanan.
• Jika h negatif, grafik bergeser ke kiri.

Contoh:

g(x) = (x - 3)²

Grafik bergeser 3 satuan ke kanan.

Ingat: tanda di dalam kurung tampak berlawanan dengan arah pergeseran. (x - 3) berarti ke kanan 3 satuan, sedangkan (x + 3) berarti ke kiri 3 satuan.

3. Refleksi (Pencerminan)

Pencerminan	Persamaan	Akibat
Sumbu-x	g(x) = -f(x)	Nilai y berubah tanda.
Sumbu-y	g(x) = f(-x)	Nilai x berubah tanda.

Contoh 1: Refleksi terhadap sumbu-x

f(x) = x²
g(x) = -x²

Parabola yang semula terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah.

Contoh 2: Refleksi terhadap sumbu-y

f(x) = 2^x
g(x) = 2^-x

Grafik eksponen dicerminkan secara horizontal.

Catatan: grafik fungsi genap, seperti f(x) = x², tidak berubah ketika dicerminkan terhadap sumbu-y karena f(-x) = f(x).

4. Dilatasi (Perubahan Skala)

A. Dilatasi vertikal

g(x) = a f(x)

• |a| lebih besar dari 1: peregangan vertikal.
• 0 lebih kecil dari |a| lebih kecil dari 1: pemampatan vertikal.
• a negatif: juga terjadi refleksi terhadap sumbu-x.

Contoh: jika f(x) = x², maka g(x) = 3x² memiliki parabola yang lebih sempit.

B. Dilatasi horizontal

g(x) = f(bx)

• |b| lebih besar dari 1: pemampatan horizontal.
• 0 lebih kecil dari |b| lebih kecil dari 1: peregangan horizontal.
• b negatif: juga terjadi refleksi terhadap sumbu-y.

Contoh: g(x) = f(2x) membuat grafik menjadi setengah lebar secara horizontal.

5. Komposisi Transformasi

Bentuk umum transformasi fungsi adalah:

g(x) = a f(b(x - h)) + k

Parameter	Pengaruh
a	Skala vertikal; jika negatif, refleksi terhadap sumbu-x.
b	Skala horizontal; jika negatif, refleksi terhadap sumbu-y.
h	Pergeseran horizontal, dengan arah ditentukan oleh tanda h.
k	Pergeseran vertikal.

Contoh

f(x) = x²
g(x) = -2(x - 1)² + 3

Langkah-langkahnya:

1. Geser grafik 1 satuan ke kanan.
2. Cerminkan terhadap sumbu-x.
3. Lakukan peregangan vertikal dengan faktor 2.
4. Geser 3 satuan ke atas.

Titik puncaknya adalah (1, 3), dan parabola terbuka ke bawah.

6. Laboratorium Grafik Interaktif

Pilih fungsi dasar, lalu ubah parameter transformasinya. Perhatikan perubahan grafik secara langsung.

Fungsi dasar f(x) = x² f(x) = x f(x) = |x| f(x) = sin(x) f(x) = 2ˣ

Parameter a

1

Skala vertikal dan refleksi.

Parameter b

1

Skala horizontal dan refleksi. Nilai 0 dihindari.

Pergeseran horizontal h

0

Pergeseran vertikal k

0

Tampilkan grafik fungsi dasar

Fungsi dasar Hasil transformasi

Persamaan hasil transformasi

g(x) = (x)²

Grafik ditampilkan pada jendela koordinat terbatas. Bagian grafik di luar jendela tidak ditampilkan. Untuk fungsi trigonometri, x dinyatakan dalam radian.

Pertanyaan eksplorasi

1. Bagaimana perubahan grafik ketika h dinaikkan dari 0 menjadi 2?
2. Apa yang terjadi ketika a bernilai -1?
3. Bandingkan grafik saat b = 2 dan b = 0,5.
4. Apakah perubahan k memengaruhi bentuk grafik?

7. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Translasi

Diketahui f(x) = x² + 1. Grafik digeser 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah. Tentukan fungsi hasilnya.

Pembahasan:

g(x) = f(x - 2) - 3
= (x - 2)² + 1 - 3
= (x - 2)² - 2

Jawaban: g(x) = (x - 2)² - 2.

Contoh 2 — Refleksi

Diketahui f(x) = 2x + 3. Tentukan hasil refleksi terhadap sumbu-x.

g(x) = -f(x)
= -(2x + 3)
= -2x - 3

Jawaban: g(x) = -2x - 3.

Contoh 3 — Dilatasi vertikal

Diketahui f(x) = x² - 2x. Grafik mengalami dilatasi vertikal dengan faktor 3.

g(x) = 3f(x)
= 3(x² - 2x)
= 3x² - 6x

Jawaban: g(x) = 3x² - 6x.

Contoh 4 — Gabungan transformasi

Diketahui f(x) = x² dan g(x) = -2f(x - 1) + 3. Tentukan titik puncak dan arah terbukanya.

Pembahasan: Grafik bergeser ke kanan 1 satuan, dicerminkan terhadap sumbu-x, diregangkan secara vertikal dengan faktor 2, lalu digeser ke atas 3 satuan.

Jawaban: Titik puncak (1, 3), parabola terbuka ke bawah.

8. Latihan dan Evaluasi

Pilih satu jawaban pada setiap soal, kemudian tekan tombol Periksa Jawaban. Pembahasan juga tersedia secara terpisah.

1. Grafik f(x) = x² digeser 4 satuan ke kiri. Fungsi hasilnya adalah ...

(x - 4)² (x + 4)² x² + 4 x² - 4

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: B. Pergeseran ke kiri 4 satuan menghasilkan g(x) = f(x + 4) = (x + 4)².

2. Hasil refleksi f(x) = x³ terhadap sumbu-x adalah ...

x³ -x³ (-x)³ + 1 x³ + 1

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: B. Refleksi sumbu-x menghasilkan g(x) = -f(x) = -x³.

3. Grafik g(x) = f(x) + 5 mengalami pergeseran ...

5 satuan ke kanan 5 satuan ke kiri 5 satuan ke atas 5 satuan ke bawah

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: C. Penambahan konstanta di luar fungsi menggeser grafik secara vertikal ke atas.

4. Jika f(x) = x², maka g(x) = 2f(x) merupakan ...

Peregangan vertikal faktor 2 Pemampatan vertikal faktor 2 Pergeseran ke kanan Refleksi sumbu-y

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: A. Nilai y setiap titik menjadi dua kali nilai semula.

5. Titik puncak y = (x - 3)² - 2 adalah ...

(-3, -2) (3, 2) (3, -2) (-3, 2)

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: C. Bentuk y = (x - h)² + k mempunyai titik puncak (h, k).

6. Refleksi f(x) = 2ˣ terhadap sumbu-y menghasilkan ...

-2ˣ 2ˣ + 1 2⁻ˣ -2⁻ˣ

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: C. Refleksi sumbu-y mengganti x dengan -x, sehingga g(x) = f(-x) = 2⁻ˣ.

7. Grafik g(x) = -(x + 2)² + 4 memiliki titik puncak ...

(2, 4) (-2, 4) (-2, -4) (2, -4)

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: B. Karena x + 2 = x - (-2), maka h = -2 dan k = 4.

8. Jika g(x) = f(2x), grafik mengalami ...

Peregangan horizontal faktor 2 Pemampatan horizontal menjadi setengah lebar Pergeseran ke kanan 2 satuan Refleksi terhadap sumbu-x

Buka kunci dan pembahasan

Jawaban: B. Penggantian x dengan 2x membuat grafik termampatkan secara horizontal dengan faktor skala 1/2.

9. Aplikasi Transformasi Fungsi

A. Animasi dan desain digital

Translasi mengubah posisi objek, refleksi membalik objek, dan dilatasi mengubah ukurannya.

B. Lintasan benda

Lintasan bola yang dimodelkan dengan fungsi kuadrat dapat bergeser jika posisi awal atau ketinggian lintasannya berubah.

C. Gelombang dan sinyal

Perubahan amplitudo dan pergeseran fase pada fungsi sinus dapat dipelajari melalui transformasi fungsi.

Contoh soal aplikasi

Sebuah lintasan dimodelkan dengan fungsi f(x) = -(x - 2)² + 5. Lintasan baru bergeser 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. Tentukan persamaan baru dan titik puncaknya.

Buka pembahasan

g(x) = f(x - 3) + 2
= -((x - 3) - 2)² + 5 + 2
= -(x - 5)² + 7

Jawaban: g(x) = -(x - 5)² + 7, dengan titik puncak (5, 7).

10. Rangkuman

• f(x) + k menggeser grafik secara vertikal.
• f(x - h) menggeser grafik secara horizontal.
• -f(x) mencerminkan grafik terhadap sumbu-x.
• f(-x) mencerminkan grafik terhadap sumbu-y.
• a f(x) mengubah skala vertikal.
• f(bx) mengubah skala horizontal.
• Transformasi dapat digabungkan untuk menghasilkan grafik baru.

Teruslah bereksplorasi. Dengan mengubah satu parameter pada satu waktu, kamu dapat memahami pengaruh setiap transformasi secara lebih mendalam.

Laboratorium Matematika | Kelas-Matematika.com