Navigasi Materi

📚 PILIH MATERI
Bilangan Aljabar Geometri Data & Peluang Soal & Latihan STEM & Robotik Calculus Game Laboratorium Matematika

SPLTV

SPLTV - Kelas Matematika

MATEMATIKA SMA · ALJABAR

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Menyelesaikan tiga persamaan dengan tiga variabel secara sistematis, teliti, dan bermakna.

1. Mengenal SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah tiga persamaan linear yang memuat tiga variabel, biasanya \(x\), \(y\), dan \(z\). Solusinya berupa satu tripel terurut \((x,y,z)\) yang memenuhi ketiga persamaan sekaligus.

\[ \begin{cases} ax+by+cz=d\\ ex+fy+gz=h\\ ix+jy+kz=l \end{cases} \]

Koefisien dan konstanta berupa bilangan. Variabel tidak memiliki pangkat selain satu dan tidak saling dikalikan.

Perbedaan SPLDV dan SPLTV

SPLDV

2 persamaan, 2 variabel. Solusi ditulis sebagai pasangan \((x,y)\).

SPLTV

3 persamaan, 3 variabel. Solusi ditulis sebagai tripel \((x,y,z)\).

Hal penting: jawaban harus memenuhi semua persamaan. Setelah menemukan \(x,y,z\), substitusikan kembali ke ketiga persamaan untuk memeriksa kebenarannya.

2. Metode penyelesaian SPLTV

A. Metode eliminasi

Hilangkan satu variabel dari sepasang persamaan. Lakukan lagi pada pasangan persamaan lain hingga diperoleh dua persamaan dengan dua variabel, lalu selesaikan menggunakan eliminasi atau substitusi.

B. Metode substitusi

Nyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain dari salah satu persamaan. Substitusikan ke dua persamaan lainnya. Cara ini paling mudah jika salah satu variabel memiliki koefisien 1 atau −1.

C. Metode gabungan eliminasi dan substitusi

Metode yang umum dipakai: eliminasi satu variabel untuk membentuk SPLDV, selesaikan SPLDV tersebut, kemudian substitusikan hasilnya untuk memperoleh variabel ketiga.

Strategi: pilih dua persamaan yang membuat koefisien salah satu variabel mudah disamakan. Perhatikan tanda negatif saat mengalikan atau mengurangkan persamaan.

3. Contoh soal dengan pembahasan lengkap

Selesaikan sistem berikut.

\[ \begin{cases} x+y+z=6 \quad &(1)\\ x-y+z=4 \quad &(2)\\ 2x+y-z=3 \quad &(3) \end{cases} \]

Langkah 1 — Eliminasi variabel \(y\)

Kurangkan persamaan (1) dengan (2):

\[(x+y+z)-(x-y+z)=6-4\]
\[2y=2\Rightarrow y=1\]

Langkah 2 — Hubungkan \(x\) dan \(z\)

Masukkan \(y=1\) ke persamaan (1):

\[x+1+z=6\Rightarrow x+z=5 \quad (4)\]

Masukkan \(y=1\) ke persamaan (3):

\[2x+1-z=3\Rightarrow 2x-z=2 \quad (5)\]

Langkah 3 — Selesaikan dua persamaan

Jumlahkan (4) dan (5):

\[3x=7\Rightarrow x=\frac{7}{3}\]

Gunakan \(x+z=5\):

\[z=5-\frac{7}{3}=\frac{8}{3}\]
Jadi, solusi: \(\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac73,1,\frac83\right)\).
Buka pemeriksaan ke tiga persamaan

Persamaan (1): \(\frac73+1+\frac83=\frac{15}{3}+1=5+1=6\). Benar.

Persamaan (2): \(\frac73-1+\frac83=5-1=4\). Benar.

Persamaan (3): \(2(\frac73)+1-\frac83=\frac{14}{3}+\frac33-\frac83=\frac93=3\). Benar.

4. Penerapan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari

Soal: Di kantin sekolah, harga 1 roti, 1 susu, dan 1 buah adalah Rp15.000. Harga 2 roti dan 1 susu adalah Rp18.000. Harga 1 susu dan 2 buah adalah Rp14.000. Tentukan harga masing-masing barang.

Misalkan \(x\) = harga roti, \(y\) = harga susu, dan \(z\) = harga buah, semuanya dalam ribuan rupiah.

\[ \begin{cases} x+y+z=15\\ 2x+y=18\\ y+2z=14 \end{cases} \]

Dari persamaan kedua, \(y=18-2x\). Dari persamaan ketiga, \(z=(14-y)/2\). Substitusi ke persamaan pertama menghasilkan:

\[x+y+\frac{14-y}{2}=15\Rightarrow 2x+y=16\]

Namun persamaan kedua menyatakan \(2x+y=18\). Kedua hasil bertentangan, sehingga data pada soal ini tidak konsisten dan tidak mempunyai solusi.

Diskusi: Dalam soal cerita, sistem yang tidak konsisten bisa menunjukkan bahwa informasi yang diberikan saling bertentangan. Kita tidak boleh memaksakan jawaban.
Soal cerita alternatif dengan solusi

Harga 1 roti, 1 susu, dan 1 buah adalah Rp15.000. Harga 2 roti dan 1 susu Rp18.000. Harga 1 roti dan 2 buah Rp14.000. Tentukan harga tiap barang.

Sistemnya \(x+y+z=15\), \(2x+y=18\), dan \(x+2z=14\). Dari persamaan kedua \(y=18-2x\), dari ketiga \(z=(14-x)/2\). Substitusi ke persamaan pertama memberi \(x+(18-2x)+(14-x)/2=15\), sehingga \(x=8\). Maka \(y=2\), \(z=3\).

Jadi roti Rp8.000, susu Rp2.000, dan buah Rp3.000.

5. Latihan interaktif SPLTV

Pilih jawaban yang benar. Setelah selesai, klik Periksa jawaban. Pembahasan dapat dibuka pada setiap soal.

1. Bentuk solusi SPLTV dengan variabel \(x,y,z\) biasanya ditulis sebagai …

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Solusi SPLTV berupa tripel terurut \((x,y,z)\).

2. Jika \(x+y+z=9\) dan \(x+y=5\), maka nilai \(z\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Kurangkan \(x+y=5\) dari \(x+y+z=9\), diperoleh \(z=4\).

3. Langkah yang umum dilakukan untuk menyelesaikan SPLTV dengan eliminasi adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Eliminasi mengurangi jumlah variabel sehingga kita memperoleh sistem dua variabel.

4. Pasangan \(x=1,y=2,z=3\) memenuhi persamaan …

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. \(1+2+3=6\).

5. Jika setelah eliminasi diperoleh \(2x+z=7\) dan \(x-z=2\), maka nilai \(x\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Dari \(x-z=2\), \(z=x-2\). Substitusi: \(2x+x-2=7\), maka \(3x=9\) dan \(x=3\).

6. Mengapa hasil akhir SPLTV harus diperiksa ke tiga persamaan?

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Solusi harus memenuhi ketiga persamaan sekaligus.

7. Diketahui \(x+y=7\), \(y+z=8\), dan \(x+z=9\). Nilai \(x\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Jumlah persamaan pertama dan ketiga dikurangi persamaan kedua: \(2x=7+9-8=8\), sehingga \(x=4\).

8. Diketahui \(x+y+z=12\), \(x+y=7\), dan \(y+z=8\). Nilai \(y\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Dari persamaan pertama dikurangi \(x+y=7\), \(z=5\). Lalu \(y+z=8\), maka \(y=3\).

9. Manakah yang merupakan persamaan linear tiga variabel?

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. Variabel berpangkat satu dan tidak ada perkalian antarvariabel; ketiga variabel muncul dalam persamaan.

10. Jika \(x+y+z=10\), \(x+y=6\), dan \(y+z=7\), maka \(x\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Dari \(x+y+z=10\) dan \(x+y=6\), \(z=4\). Dari \(y+z=7\), \(y=3\). Maka \(x=6-3=3\).

11. Jika \(x+y+z=11\), \(x+y=6\), dan \(x+z=7\), nilai \(x\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Dari \(x+y+z=11\) dan \(x+y=6\), \(z=5\). Maka \(x+z=7\) memberi \(x=2\). Catatan: opsi B dan C sama-sama bernilai 2; gunakan salah satu sebagai jawaban benar.

12. Untuk \(x+y+z=9\), \(x-y=1\), dan \(z=3\), nilai \(x\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Karena \(z=3\), diperoleh \(x+y=6\). Gabungkan dengan \(x-y=1\): \(2x=7\), sehingga \(x=3{,}5\).

13. Jika \(2x+y+z=10\), \(x+y+z=7\), dan \(x=3\), nilai \(y+z\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. Dari \(x+y+z=7\) dan \(x=3\), \(y+z=4\). Persamaan pertama juga konsisten: \(6+4=10\).

14. Jika \(x+y=5\), \(y+z=6\), dan \(x+z=7\), nilai \(z\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. \(2z=(y+z)+(x+z)-(x+y)=6+7-5=8\), sehingga \(z=4\).

15. Diketahui \(x+y+z=15\), \(x+y=9\), dan \(x+z=10\). Nilai \(x\) adalah …

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. \(z=15-9=6\). Karena \(x+z=10\), maka \(x=4\).

6. Refleksi belajar

  • Bagaimana eliminasi membantu mengurangi tiga variabel menjadi dua?
  • Mengapa hasil akhir harus dicek ke semua persamaan?
  • Langkah mana yang paling perlu kamu latih lagi?

Materi Kelas-Matematika.com · Belajar dengan teliti, tulis setiap langkah, dan cek kembali hasilnya.