<!-- MATERI 1: SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) -->

SERI MATERI MATEMATIKA SMA

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Memahami dua persamaan, dua variabel, dan cara menemukan pasangan nilai yang memenuhi keduanya.

Daftar Materi

Konsep dasar · Metode penyelesaian · Grafik interaktif · Contoh soal · Soal cerita · Latihan

1. Konsep Dasar SPLDV

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear yang memuat dua variabel, biasanya x dan y. Penyelesaiannya adalah pasangan terurut (x, y) yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Contoh:

x + y = 7
x − y = 1

Pasangan (4, 3) adalah solusi karena 4 + 3 = 7 dan 4 − 3 = 1.

Makna grafik: setiap persamaan linear membentuk garis lurus. Jika kedua garis berpotongan, titik potongnya adalah solusi SPLDV.

Satu solusi

Dua garis berpotongan pada satu titik.

Tidak ada solusi

Dua garis sejajar dan berbeda.

Tak hingga solusi

Kedua persamaan menggambarkan garis yang sama.

2. Metode Penyelesaian SPLDV

A. Metode eliminasi

Eliminasi dilakukan dengan menghilangkan salah satu variabel melalui penjumlahan atau pengurangan persamaan.

x + y = 7 ...(1)
x − y = 1 ...(2)

Jumlahkan (1) dan (2):
2x = 8 → x = 4
Substitusi ke x + y = 7:
4 + y = 7 → y = 3

Jadi, penyelesaiannya adalah (4, 3).

B. Metode substitusi

Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya, lalu substitusikan ke persamaan kedua.

x + y = 7 → y = 7 − x
x − y = 1
x − (7 − x) = 1
2x − 7 = 1 → x = 4
y = 7 − 4 = 3

Jadi, penyelesaiannya adalah (4, 3).

C. Metode grafik

Gambarkan kedua garis pada bidang koordinat. Koordinat titik potong kedua garis merupakan solusi SPLDV.

Untuk contoh x + y = 7 dan x − y = 1, titik potongnya adalah (4, 3).

D. Metode campuran

Metode campuran menggabungkan eliminasi dan substitusi. Misalnya, eliminasi salah satu variabel terlebih dahulu, kemudian substitusikan nilai yang diperoleh untuk menentukan variabel lainnya.

Tambahan: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Selain SPLDV, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linear yang memuat tiga variabel. Sistem ini disebut Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Penyelesaian SPLTV berupa pasangan terurut tiga nilai, yaitu (x, y, z), yang memenuhi ketiga persamaan sekaligus.

Perbedaan penting: SPLDV memiliki dua variabel dan biasanya dapat divisualisasikan sebagai dua garis pada bidang. SPLTV memiliki tiga variabel; setiap persamaan menggambarkan bidang di ruang tiga dimensi. Karena itu, metode eliminasi dan substitusi lebih praktis digunakan untuk perhitungan di tingkat ini.

A. Metode eliminasi bertahap

Eliminasi dilakukan untuk mengurangi jumlah variabel. Gabungkan dua persamaan untuk menghilangkan satu variabel, lakukan hal yang sama pada pasangan persamaan lain, lalu selesaikan sistem dua variabel yang diperoleh.

Contoh soal

Tentukan penyelesaian sistem berikut.

x + y + z = 6 ...(1)
2x − y + z = 3 ...(2)
x + 2y − z = 2 ...(3)

Buka pembahasan langkah demi langkah

Langkah 1: Hilangkan z.

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1):

x − 2y = −3 ...(4)

Langkah 2: Hilangkan x.

Kurangkan persamaan (3) dengan persamaan (1):

y − 2z = −4 ...(5)

Langkah 3: Nyatakan x dan y.

Dari (4), x = 2y − 3. Dari (5), y = 2z − 4.

Langkah 4: Substitusikan ke persamaan (1).

x + y + z = 6
(2y − 3) + y + z = 6
3y + z = 9

Substitusikan y = 2z − 4:

3(2z − 4) + z = 9
7z − 12 = 9
7z = 21 → z = 3

Langkah 5: Tentukan y dan x.

y = 2(3) − 4 = 2
x = 2(2) − 3 = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah (x, y, z) = (1, 2, 3).

Pemeriksaan: persamaan (1): 1 + 2 + 3 = 6; persamaan (2): 2 − 2 + 3 = 3; persamaan (3): 1 + 4 − 3 = 2. Ketiganya benar.

B. Metode substitusi

Pilih salah satu persamaan, nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya, lalu substitusikan ke dua persamaan yang tersisa. Sistem akan berkurang menjadi dua persamaan dengan dua variabel. Selesaikan SPLDV tersebut, kemudian tentukan variabel ketiga.

Strategi belajar: pada SPLTV, tujuan eliminasi awal adalah memperoleh dua persamaan yang hanya memuat dua variabel. Setelah SPLDV terselesaikan, substitusikan kembali untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.

C. Latihan SPLTV

1. Berapa banyak variabel yang terdapat pada SPLTV?

Satu variabel Tiga variabel Empat variabel Tidak memiliki variabel

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. SPLTV adalah sistem persamaan linear dengan tiga variabel, biasanya x, y, dan z.

2. Diketahui x + y + z = 9, x = 2, dan y = 3. Nilai z adalah ...

2 3 4 5

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. z = 9 − 2 − 3 = 4.

3. Setelah satu variabel dieliminasi dari dua persamaan SPLTV, bentuk sistem yang biasanya diperoleh adalah ...

SPLDV Persamaan kuadrat Pertidaksamaan kuadrat Fungsi eksponen

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Eliminasi satu variabel menghasilkan persamaan yang memuat dua variabel, sehingga dapat diselesaikan sebagai SPLDV.

4. Penyelesaian sistem x + y + z = 6, x + y − z = 2, dan x − y + z = 4 adalah ...

(2, 2, 2) (1, 3, 2) (3, 1, 2) (3, 2, 1)

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua menghasilkan 2z = 4, jadi z = 2. Dari persamaan pertama, x + y = 4. Dari persamaan ketiga, x − y = 2. Maka x = 3 dan y = 1. Solusinya (3, 1, 2).

5. Diketahui 2x + y + z = 10 dan x + y + z = 7. Nilai x adalah ...

1 3 7 10

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua: (2x − x) + (y − y) + (z − z) = 10 − 7, sehingga x = 3.

6. Jika x = 1, y = 2, dan z = 3, nilai 2x − y + 3z adalah ...

5 7 8 9

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. Substitusi nilai: 2(1) − 2 + 3(3) = 2 − 2 + 9 = 9.

7. Diketahui x + y + z = 12, x − y = 2, dan z = 4. Penyelesaiannya adalah ...

(5, 3, 4) (4, 5, 3) (6, 2, 4) (3, 5, 4)

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Karena z = 4, maka x + y = 8. Bersama x − y = 2, jumlahkan kedua persamaan untuk memperoleh 2x = 10, sehingga x = 5 dan y = 3.

8. Manakah pasangan (x, y, z) yang memenuhi x + y + z = 6, 2x + y + z = 8, dan x + 2y + z = 9?

(1, 2, 3) (3, 1, 2) (2, 3, 1) (2, 2, 2)

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Dari persamaan kedua dikurangi pertama, diperoleh x = 2. Dari persamaan ketiga dikurangi pertama, diperoleh y = 3. Substitusi ke persamaan pertama menghasilkan z = 1.

9. Langkah yang tepat setelah memperoleh dua persamaan dengan dua variabel melalui eliminasi adalah ...

Mengubah semua persamaan menjadi kuadrat Menyelesaikan SPLDV tersebut, lalu mencari variabel ketiga Menghapus semua variabel Langsung mengalikan semua persamaan

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Selesaikan SPLDV hasil eliminasi, kemudian substitusikan nilai variabel yang diperoleh ke persamaan awal untuk menentukan variabel ketiga.

3. Laboratorium Grafik SPLDV

Ubah koefisien persamaan untuk melihat bagaimana posisi dua garis berubah. Grafik menampilkan persamaan dalam bentuk ax + by = c.

Persamaan 1: a₁ b₁ c₁

Persamaan 2: a₂ b₂ c₂

Jendela grafik menampilkan x dan y kira-kira dari −10 sampai 10. Jika koefisien a dan b sama-sama nol, persamaan tidak membentuk garis.

4. Contoh Soal

Contoh 1 — Menentukan solusi dengan eliminasi

Tentukan solusi dari 2x + y = 11 dan x − y = 1.

2x + y = 11
x − y = 1
Jumlahkan: 3x = 12 → x = 4
Substitusi ke x − y = 1:
4 − y = 1 → y = 3

Jawaban: (4, 3).

Contoh 2 — Memeriksa pasangan solusi

Apakah (2, 5) memenuhi sistem x + y = 7 dan 2x + y = 9?

Persamaan pertama: 2 + 5 = 7, benar. Persamaan kedua: 2(2) + 5 = 9, benar.

Jawaban: Ya, pasangan (2, 5) merupakan solusi.

5. Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari

Soal cerita: tiket pertunjukan

Harga 2 tiket dewasa dan 1 tiket anak adalah Rp110.000. Harga 1 tiket dewasa dan 2 tiket anak adalah Rp85.000. Berapakah harga satu tiket dewasa dan satu tiket anak?

Buka pembahasan

Misalkan x = harga tiket dewasa dalam ribuan rupiah dan y = harga tiket anak dalam ribuan rupiah.

2x + y = 110
x + 2y = 85

Dari persamaan pertama, y = 110 − 2x.

Substitusi ke persamaan kedua:

x + 2(110 − 2x) = 85
x + 220 − 4x = 85
−3x = −135 → x = 45
y = 110 − 90 = 20

Jawaban: tiket dewasa Rp45.000 dan tiket anak Rp20.000.

6. Latihan Mandiri

1. Solusi x + y = 9 dan x − y = 3 adalah ...

(3, 6)(6, 3)(5, 4)(4, 5)

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Jumlahkan kedua persamaan: 2x = 12, sehingga x = 6. Maka y = 3.

2. Metode yang menghilangkan variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan disebut ...

GrafikSubstitusiEliminasiFaktorisasi

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Eliminasi menghilangkan satu variabel melalui operasi pada kedua persamaan.

3. Jika dua garis sejajar dan berbeda, SPLDV mempunyai ...

Tidak ada solusiSatu solusiTak hingga solusiSelalu solusi (0, 0)

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Dua garis sejajar yang berbeda tidak mempunyai titik potong.

4. Jika x = 2 dan y = 3, nilai 2x + 3y adalah ...

7101113

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13.

Rangkuman

SPLDV terdiri atas dua persamaan linear dengan dua variabel. Solusinya dapat ditemukan menggunakan eliminasi, substitusi, grafik, atau metode campuran. Dalam soal cerita, tentukan arti variabel terlebih dahulu, susun dua persamaan, lalu periksa apakah solusi masuk akal.

Laboratorium Matematika · Kelas-Matematika.com

MATEMATIKA SMA · OPTIMASI

Program Linear

Menentukan nilai maksimum atau minimum dengan kendala yang dinyatakan dalam pertidaksamaan linear.

Daftar Materi

Konsep dasar · Membuat model matematika · Daerah penyelesaian · Uji titik pojok · Laboratorium grafik · Contoh soal · Latihan

1. Konsep Dasar Program Linear

Program linear adalah metode untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan dengan memperhatikan sejumlah kendala linear.

Variabel keputusan

Besaran yang akan ditentukan, misalnya jumlah produk A dan B.

Kendala

Batas sumber daya, waktu, bahan, kapasitas, atau permintaan.

Fungsi tujuan

Besaran yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.

Contoh fungsi tujuan:

Maksimumkan Z = 4x + 3y

dengan kendala, misalnya:

x + y ≤ 8
2x + y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0

Variabel x dan y biasanya tidak negatif karena mewakili jumlah barang atau sumber daya.

2. Membuat Model Matematika

Langkah menyusun model program linear:

1. Tentukan variabel keputusan.
2. Terjemahkan informasi soal menjadi pertidaksamaan kendala.
3. Tentukan fungsi tujuan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.
4. Tentukan syarat nonnegatif, jika variabel mewakili jumlah.

Contoh: usaha roti

Usaha roti membuat roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 2 satuan tepung dan 1 satuan waktu. Roti B membutuhkan 1 satuan tepung dan 1 satuan waktu. Persediaan tepung paling banyak 10 satuan dan waktu paling banyak 8 satuan. Keuntungan roti A Rp4.000 dan roti B Rp3.000.

Misalkan x = jumlah roti A dan y = jumlah roti B.

Kendala tepung: 2x + y ≤ 10
Kendala waktu: x + y ≤ 8
Nonnegatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: maksimumkan Z = 4x + 3y

Nilai Z dinyatakan dalam ribuan rupiah.

3. Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan

Setiap pertidaksamaan linear membatasi bidang koordinat pada suatu setengah bidang. Irisan semua setengah bidang yang memenuhi seluruh kendala disebut daerah penyelesaian atau daerah feasible.

x + y ≤ 8
2x + y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0

• Garis batas digambar dari persamaan yang terkait.
• Untuk tanda ≤, daerah yang dipilih berada pada sisi yang memenuhi pertidaksamaan.
• Untuk tanda ≥, pilih sisi yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
• Garis batas termasuk daerah untuk tanda ≤ atau ≥.

Tips: Uji titik (0, 0) jika titik itu tidak berada pada garis batas. Jika pertidaksamaan benar, pilih sisi yang memuat titik tersebut.

4. Metode Titik Pojok

Jika daerah penyelesaian berupa poligon terbatas, nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan linear dicapai pada setidaknya satu titik pojok daerah tersebut.

1. Tentukan semua titik pojok daerah penyelesaian.
2. Substitusikan koordinat setiap titik ke fungsi tujuan.
3. Bandingkan semua nilai yang diperoleh.
4. Pilih nilai terbesar untuk maksimum atau nilai terkecil untuk minimum.

Contoh perhitungan

Untuk kendala 2x + y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0, titik pojoknya adalah (0,0), (5,0), (2,6), dan (0,8).

Fungsi tujuan: Z = 4x + 3y.

Titik pojok	Perhitungan Z	Nilai Z
(0,0)	4(0) + 3(0)	0
(5,0)	4(5) + 3(0)	20
(2,6)	4(2) + 3(6)	26
(0,8)	4(0) + 3(8)	24

Kesimpulan: nilai maksimum Z adalah 26 pada titik (2, 6).

5. Laboratorium Grafik Program Linear

Eksplorasi daerah yang memenuhi dua kendala berikut. Grafik menampilkan garis batas dan titik-titik pojok daerah feasible untuk kendala nonnegatif.

Kendala 1: a₁x + b₁y ≤ c₁

a₁ b₁ c₁

Kendala 2: a₂x + b₂y ≤ c₂

a₂ b₂ c₂

Fungsi tujuan: Z = px + qy

p q

Grafik dibatasi pada x dan y antara 0 dan 20. Daerah yang diarsir adalah daerah feasible yang terlihat pada jendela grafik. Nilai optimum dihitung dari titik pojok yang memenuhi kendala.

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Menentukan keuntungan maksimum

Seorang pengrajin membuat produk A dan B. Keuntungan masing-masing Rp5.000 dan Rp4.000. Kendalanya x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan keuntungan maksimum.

Titik pojok daerah penyelesaian: (0,0), (4,0), (2,4), dan (0,6).

Titik	Z = 5x + 4y
(0,0)	0
(4,0)	20
(2,4)	26
(0,6)	24

Jawaban: keuntungan maksimum 26 ribu rupiah atau Rp26.000, dicapai saat x = 2 dan y = 4.

Contoh 2 — Menentukan model matematika

Jumlah dua jenis paket makanan, x dan y, paling banyak 30 paket. Paket A membutuhkan 2 unit bahan, sedangkan paket B membutuhkan 3 unit. Persediaan bahan 72 unit.

Model kendala:

x + y ≤ 30
2x + 3y ≤ 72
x ≥ 0, y ≥ 0

Jika keuntungan tiap paket A Rp8.000 dan paket B Rp10.000, fungsi tujuan adalah maksimumkan Z = 8x + 10y (dalam ribuan rupiah).

7. Latihan Mandiri

1. Dalam program linear, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut ...

Variabel kendalaFungsi tujuanDaerah koordinatPersamaan kuadrat

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Fungsi tujuan adalah besaran yang dioptimalkan.

2. Jika x menyatakan jumlah barang, syarat nonnegatifnya adalah ...

x < 0x = −1x ≥ 0x ≤ −1

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Jumlah barang tidak dapat negatif.

3. Untuk menentukan maksimum fungsi tujuan linear pada daerah feasible terbatas, kita memeriksa ...

Titik-titik pojok daerah feasibleSatu titik sembarang sajaHanya titik asalHanya gradien garis

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Nilai optimum pada daerah poligonal terbatas dicapai pada setidaknya satu titik pojok.

4. Jika Z = 3x + 2y, nilai Z di titik (2,4) adalah ...

8101214

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. Z = 3(2) + 2(4) = 6 + 8 = 14.

Rangkuman

Program linear mengoptimalkan fungsi tujuan dengan memenuhi seluruh kendala. Buat model matematika dengan cermat, gambarkan daerah feasible, tentukan titik pojok, lalu hitung nilai fungsi tujuan di setiap titik untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum.

Laboratorium Matematika · Kelas-Matematika.com