SPLDV

MATEMATIKA SMA · ALJABAR

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Memahami dua persamaan, dua variabel, dan berbagai cara menemukan pasangan penyelesaiannya.

1. Apa itu SPLDV?

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan linear yang memuat dua variabel, biasanya \(x\) dan \(y\), dan harus dipenuhi secara bersamaan.

\[ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} \]

Huruf \(a,b,c,d,e,f\) menyatakan konstanta. Penyelesaian SPLDV adalah pasangan \((x,y)\) yang memenuhi kedua persamaan.

Kemungkinan penyelesaian

Satu solusi: kedua garis berpotongan di satu titik.
Tidak ada solusi: kedua garis sejajar dan berbeda.
Tak hingga banyak solusi: kedua persamaan mewakili garis yang sama.

Ingat: solusi harus benar saat disubstitusikan ke kedua persamaan, bukan hanya salah satunya.

2. Eksplorasi grafik dua garis

Ubah koefisien persamaan, lalu tekan Gambar grafik. Amati titik potong kedua garis. Untuk contoh awal, gunakan \(2x+y=7\) dan \(x-y=2\), yang berpotongan di \((3,1)\).

Persamaan 1: ax + by = c

a b c

Persamaan 2: dx + ey = f

d e f

Titik potong: (3, 1).

Catatan: garis ditampilkan pada rentang koordinat sekitar −10 sampai 10. Jika salah satu persamaan tidak membentuk garis biasa pada rentang tersebut, perhatikan pesan hasilnya.

3. Metode menyelesaikan SPLDV

A. Metode grafik

Gambarkan garis dari persamaan pertama.
Gambarkan garis dari persamaan kedua.
Tentukan titik potongnya.

Jika berpotongan di \((p,q)\), maka \(x=p\) dan \(y=q\).

B. Metode substitusi

Dari \(x-y=2\), diperoleh \(y=x-2\). Substitusikan ke \(2x+y=7\):

\[2x+(x-2)=7\]
\[3x=9\Rightarrow x=3\]
\[y=3-2=1\]

C. Metode eliminasi

Jumlahkan kedua persamaan \(2x+y=7\) dan \(x-y=2\). Variabel \(y\) tereliminasi:

\[3x=9\Rightarrow x=3\]

Masukkan \(x=3\) ke \(x-y=2\), sehingga \(y=1\).

D. Metode campuran

Gunakan eliminasi untuk mendapatkan satu variabel, lalu substitusi nilai itu ke salah satu persamaan untuk menemukan variabel lainnya.

Metode ini sering praktis ketika koefisien salah satu variabel mudah dibuat sama atau berlawanan.

4. Metode determinan (Aturan Cramer)

Metode determinan cocok untuk SPLDV berbentuk \(ax+by=c\) dan \(dx+ey=f\). Hitung tiga determinan berikut.

\[D=\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}=ae-bd\] \[D_x=\begin{vmatrix}c&b\\f&e\end{vmatrix}=ce-bf\qquad D_y=\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}=af-cd\] \[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}\quad\text{jika }D\ne0\]

Contoh langkah demi langkah

Selesaikan \(2x+y=7\) dan \(x-y=2\).

Langkah 1 — Tentukan koefisien: \(a=2,b=1,c=7,d=1,e=-1,f=2\).

Langkah 2 — Hitung determinan utama:

\[D=(2)(-1)-(1)(1)=-3\]

Langkah 3 — Hitung determinan \(x\):

\[D_x=(7)(-1)-(1)(2)=-9\]

Langkah 4 — Hitung determinan \(y\):

\[D_y=(2)(2)-(7)(1)=-3\]

Langkah 5 — Hitung nilai variabel:

\[x=\frac{-9}{-3}=3,\qquad y=\frac{-3}{-3}=1\]

Jadi, penyelesaiannya adalah \((x,y)=(3,1)\). Cek: \(2(3)+1=7\) dan \(3-1=2\). Keduanya benar.

Bagaimana jika \(D=0\)? Rumus Cramer tidak dapat langsung memberi solusi tunggal. Periksa determinan \(D_x\) dan \(D_y\): jika ada yang tidak nol, sistem tidak memiliki solusi; jika keduanya nol, sistem dapat memiliki tak hingga banyak solusi. Periksa kembali persamaannya untuk memastikan.

Latihan singkat determinan

Selesaikan \(3x+2y=12\) dan \(x-y=1\).

Buka kunci dan pembahasan

\(D=3(-1)-2(1)=-5\).

\(D_x=12(-1)-2(1)=-14\), sehingga \(x=(-14)/(-5)=14/5\).

\(D_y=3(1)-12(1)=-9\), sehingga \(y=(-9)/(-5)=9/5\).

Jadi \(x=2{,}8\) dan \(y=1{,}8\). Pemeriksaan: \(3(2{,}8)+2(1{,}8)=12\), dan \(2{,}8-1{,}8=1\).

5. Penerapan SPLDV dalam kehidupan sehari-hari

Soal: Harga 2 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp11.000. Harga 1 buku tulis dan 2 pensil adalah Rp10.000. Berapa harga satu buku tulis dan satu pensil?

Misalkan \(x\) adalah harga buku tulis (dalam ribuan rupiah) dan \(y\) harga pensil (dalam ribuan rupiah).

\[\begin{cases}2x+y=11\\x+2y=10\end{cases}\]

Kalikan persamaan pertama dengan 2: \(4x+2y=22\). Kurangkan persamaan kedua: \(3x=12\), sehingga \(x=4\). Substitusikan ke \(2x+y=11\): \(8+y=11\), maka \(y=3\).

Jadi, harga buku tulis Rp4.000 dan harga pensil Rp3.000.

Mengapa perlu memisalkan variabel?

Pemisalan membantu menerjemahkan informasi cerita menjadi persamaan matematika. Setelah nilai variabel ditemukan, tuliskan kembali dengan satuan dan makna yang sesuai.

7. Refleksi

Metode mana yang paling mudah kamu gunakan? Mengapa?
Kapan metode determinan terasa lebih praktis?
Bagaimana cara memeriksa bahwa pasangan \((x,y)\) benar-benar merupakan solusi?

Materi Kelas-Matematika.com · Gunakan latihan dan pembahasan untuk belajar mandiri.

Cari Blog Ini

Navigasi Materi