Soal Numerasi Trigonometri

Identitas asesmen

Jenjang / kelas: SMA / Kelas X
Mata pelajaran: Matematika
Alokasi waktu: 90 menit
Jumlah soal: 8 soal: 2 pilihan ganda, 1 pilihan ganda kompleks, 2 isian singkat, 3 uraian
Materi: Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku (sinus, cosinus, tangen), sudut elevasi, dan sudut depresi
Tujuan pengukuran: Mengukur kemampuan siswa memahami informasi matematis dalam situasi nyata, memilih dan menerapkan rasio trigonometri, menafsirkan hasil sesuai konteks, serta mengevaluasi kewajaran hasil dan klaim berdasarkan data.

Petunjuk pengerjaan

Baca setiap stimulus dengan teliti. Tandai apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan.
Pada soal bertanda [ SKETSA ], buat sketsa segitiga siku-siku. Beri label objek, jarak, sudut, dan garis pandang.
Kalkulator tidak digunakan. Pakai tabel nilai pendekatan di bawah bila diperlukan.
Pada soal uraian, tuliskan langkah penyelesaian dan alasan Anda. Jawaban tanpa alasan tidak mendapat skor penuh.
Cantumkan satuan pada setiap jawaban akhir.

Sudut	sin	cos	tan
30°	0,5	0,866	0,577
37°	0,6	0,8	0,75
45°	0,707	0,707	1
53°	0,8	0,6	1,333
60°	0,866	0,5	1,732

Tambahan untuk Soal 6: sin 10° ≈ 0,174; sin 11° ≈ 0,191; sin 12° ≈ 0,208; sin 15° ≈ 0,259; sin 20° ≈ 0,342. Nilai √3 ≈ 1,73.

Soal

Tiang Bendera Sekolah

Pilihan gandaMudah[ SKETSA ]

Dalam kegiatan Pramuka, Raka (tinggi mata 1,5 m dari tanah) ingin mengetahui tinggi tiang bendera tanpa memanjatnya. Ia berdiri di tanah datar pada jarak 20 m dari kaki tiang. Dengan busur derajat sederhana, ia mengukur sudut elevasi puncak tiang sebesar 37° dari matanya.

Berapakah tinggi tiang bendera dari permukaan tanah?

A.15,0 m
B.16,5 m
C.13,5 m
D.26,7 m

Tangga untuk Mengecat Dinding

Pilihan gandaMudah[ SKETSA ]

Pak Budi menyandarkan tangga sepanjang 8 m pada dinding rumah. Lantai teras datar dan kaki tangga berjarak 4 m dari dinding. Petunjuk keselamatan menyatakan bahwa sudut antara tangga dan lantai sebaiknya antara 60° dan 75°.

Kesimpulan yang tepat adalah ….

A.Sudut tangga 30°, tidak memenuhi petunjuk keselamatan, dan ujung atas tangga berada pada ketinggian ±6,9 m.
B.Sudut tangga 60°, memenuhi petunjuk keselamatan, dan ujung atas tangga berada pada ketinggian ±6,9 m.
C.Sudut tangga 60°, memenuhi petunjuk keselamatan, dan ujung atas tangga berada pada ketinggian 4 m.
D.Sudut tangga 60°, memenuhi petunjuk keselamatan, dan ujung atas tangga berada pada ketinggian 8 m.

Lebar Sungai

Isian singkatSedang[ SKETSA ]

Tim survei desa ingin memasang jembatan gantung, tetapi tidak boleh menyeberang untuk mengukur lebar sungai. Sebuah pohon (P) tumbuh tepat di tepi seberang. Seorang petugas berdiri di titik A di tepi sisi ini, tepat berhadapan dengan pohon (garis AP tegak lurus tepi sungai). Ia lalu berjalan 30 m menyusuri tepi sungai ke titik B. Dari B, garis pandang ke pohon membentuk sudut 53° terhadap garis AB.

Sketsa tidak sesuai skala

Lebar sungai (jarak AP) adalah meter. (Dibulatkan ke meter terdekat)

Rangka Atap Rumah

Isian singkatSedang[ SKETSA ]

Rumah Pak Anwar berukuran lebar 8 m dan beratap pelana (dua sisi miring sama). Setiap sisi atap menjorok 0,5 m keluar dari dinding (overhang). Atap miring 30° terhadap horizontal, dan bubungan (puncak) tepat di atas garis tengah bangunan. Tukang menghitung kasau, yaitu balok miring dari ujung overhang sampai bubungan.

Panjang satu kasau adalah m, dan tinggi bubungan dari garis ujung overhang adalah m. (Dibulatkan satu angka desimal)

Mengawasi Kapal dari Menara Pantai

Pilihan ganda kompleksSedang[ SKETSA ]

Seorang petugas pantai berada di puncak menara pengawas yang tingginya 60 m dari permukaan laut (sudah termasuk tinggi mata). Ia melihat dua kapal, A dan B, yang segaris dengan menara dan berada di sisi yang sama. Sudut depresi ke kapal A adalah 30°, sedangkan ke kapal B adalah 45°.

Sketsa tidak sesuai skala

Pilihlah semua pernyataan yang benar (boleh lebih dari satu).

1. Jarak horizontal kapal B ke dasar menara adalah 60 m.
2. Jarak horizontal kapal A ke dasar menara sekitar 104 m.
3. Kapal A lebih dekat ke menara daripada kapal B karena sudut depresinya lebih kecil.
4. Jarak antara kapal A dan kapal B sekitar 44 m.
5. Jika kapal A bergerak mendekati menara, sudut depresinya akan menjadi lebih kecil dari 30°.

Jalan Menanjak ke Dusun

UraianTinggi

Sebuah jalan lurus menanjak menuju dusun. Panjang jalan yang diukur sepanjang permukaannya adalah 200 m, dan beda tinggi antara pangkal dan ujung jalan adalah 40 m. Peraturan desa menyatakan bahwa sudut kemiringan jalan desa tidak boleh lebih dari 15°.

Dita menghitung: "Kemiringan = 40 : 200 = 0,2 = 20%, jadi sudut kemiringannya 20°. Karena 20° lebih dari 15°, jalan ini melanggar aturan dan harus dibangun ulang."

Buatlah sketsa segitiga siku-siku yang menggambarkan situasi ini.
Tentukan sudut kemiringan jalan tersebut (perkiraan ke derajat terdekat) dengan menggunakan tabel nilai.
Evaluasilah klaim Dita. Bagian mana yang benar dan bagian mana yang keliru? Jelaskan dengan alasan matematis.
Apakah jalan tersebut memenuhi peraturan desa? Berikan kesimpulan Anda.

Menara Jam di Tengah Kolam

UraianTinggi[ SKETSA ]

Sebuah menara jam berdiri di tengah kolam, sehingga jarak dari tepi kolam ke dasar menara tidak dapat diukur langsung. Rina (tinggi mata 1,6 m) berdiri di titik P di tanah datar dan mengukur sudut elevasi puncak menara sebesar 30°. Ia berjalan lurus ke arah menara sejauh 40 m ke titik Q, lalu mengukur lagi sudut elevasinya, yaitu 60°. Titik P, titik Q, dan dasar menara segaris.

Buatlah sketsa yang memuat kedua posisi pengamat, sudut elevasi, dan jarak 40 m.
Jelaskan mengapa Rina tidak dapat langsung menentukan tinggi menara dengan satu rasio tangen saja. Lalu susun persamaan dan tentukan tinggi menara dari permukaan tanah.
Dimas berkata: "Tinggi menara = 40 × tan 60° = 69,3 m, karena Rina berjalan 40 m." Nilailah pernyataan Dimas dan jelaskan alasannya.

Kapal Nelayan dan Karang Tersembunyi

UraianTinggi[ SKETSA ]

Pos pengamatan berada di tebing pantai pada ketinggian 150 m dari permukaan laut (sudah termasuk tinggi mata petugas). Sebuah kapal nelayan bergerak lurus dengan kecepatan tetap menuju dasar tebing. Pada pukul 10.00, sudut depresi dari pos ke kapal adalah 30°. Tepat 1,5 menit kemudian, sudut depresinya 45°. Di perairan dekat tebing terdapat karang tersembunyi pada jarak 40 m dari dasar tebing. Aturan pelabuhan menetapkan:

kecepatan kapal di area ini maksimum 5 km/jam, dan
nakhoda harus memiliki waktu minimal 2 menit untuk memperlambat sebelum kapal mencapai jarak 40 m dari dasar tebing.

Buatlah sketsa yang menunjukkan kedudukan pos, kedua posisi kapal, dan karang.
Tentukan jarak horizontal kapal ke dasar tebing pada pukul 10.00 dan pada pukul 10.01.30.
Hitunglah kecepatan kapal dalam km/jam. Apakah kapal mematuhi batas kecepatan?
Jika kapal terus bergerak dengan kecepatan yang sama, apakah syarat waktu minimal 2 menit terpenuhi? Berikan keputusan dan alasan Anda.

Kunci jawaban

No	Jawaban
1	B (16,5 m)
2	B
3	40 m
4	Panjang kasau ≈ 5,2 m; tinggi bubungan ≈ 2,6 m
5	Pernyataan 1, 2, dan 4
6	Sudut ≈ 11,5° (antara 11° dan 12°); klaim Dita keliru; jalan memenuhi aturan
7	Tinggi menara ≈ 36,2 m; pernyataan Dimas salah
8	260 m dan 150 m; ≈ 4,4 km/jam (mematuhi batas); syarat 2 menit tidak terpenuhi (hanya 1,5 menit)

Pembahasan

1Tiang Bendera Sekolah

Diketahui dan ditanyakan

Tinggi mata 1,5 m, jarak horizontal 20 m, sudut elevasi 37°. Ditanyakan tinggi tiang dari tanah.

Model dan rasio

Garis pandang, garis horizontal setinggi mata, dan bagian tiang di atas mata membentuk segitiga siku-siku. Sisi depan sudut adalah tinggi tiang di atas mata (t'), sisi samping adalah 20 m. Sisi samping diketahui dan sisi depan dicari, maka dipakai tangen.

tan 37° = t' / 20 → t' = 20 × 0,75 = 15 m Tinggi tiang = t' + tinggi mata = 15 + 1,5 = 16,5 m

Jawaban: B (16,5 m). Tiang setinggi 16,5 m wajar untuk sekolah (setara bangunan sekitar 4 lantai).

Alasan tiap pilihan

SALAHA (15 m): hanya tinggi di atas mata, tinggi mata lupa ditambahkan.
BENARB (16,5 m).
SALAHC (13,5 m): tinggi mata dikurangkan, padahal seharusnya ditambahkan.
SALAHD (26,7 m): memakai 20 ÷ 0,75, yaitu membalik rasio tangen.

Kesalahan umum: lupa tinggi mata, atau memakai sin/cos padahal yang diketahui adalah sisi samping.

2Tangga untuk Mengecat Dinding

Diketahui dan ditanyakan

Panjang tangga 8 m (sisi miring), jarak kaki tangga ke dinding 4 m (sisi samping sudut di lantai). Ditanyakan sudut tangga dengan lantai, tinggi ujung atas tangga, dan kesesuaian dengan petunjuk keselamatan.

Langkah

Sisi samping dan sisi miring diketahui, maka sudut dicari dengan cosinus. Tinggi dicari dengan sinus.

cos θ = 4/8 = 0,5 → θ = 60° sin 60° = tinggi / 8 → tinggi = 8 × 0,866 ≈ 6,9 m

Jawaban: B. Sudut 60° berada dalam rentang 60°–75°, sehingga memenuhi petunjuk keselamatan.

Alasan tiap pilihan

SALAHA: sudutnya keliru. Kesalahan ini muncul dari memakai sin 30° = 0,5, padahal rasio yang diketahui adalah cosinus (cos 60° = 0,5).
BENARB.
SALAHC: 4 m adalah jarak ke dinding, bukan tinggi.
SALAHD: 8 m adalah panjang tangga. Tinggi pasti lebih kecil dari panjang tangga.

Kesalahan umum: memakai sin untuk mencari sudut padahal sisi yang diketahui adalah sisi samping, dan tertukar antara jarak ke dinding dengan tinggi.

3Lebar Sungai

Diketahui dan ditanyakan

AB = 30 m (sejajar tepi), ∠ABP = 53°, AP ⊥ AB. Ditanyakan AP (lebar sungai).

Model dan rasio

Segitiga ABP siku-siku di A. Terhadap sudut B, AP adalah sisi depan dan AB adalah sisi samping, sehingga dipakai tangen.

tan 53° = AP / 30 → AP = 30 × 1,333 = 40 m

Jawaban: 40 m. Jembatan gantung harus lebih panjang dari 40 m untuk menjangkau kedua tepi.

Kesalahan umum: mengira BP (sisi miring) sebagai lebar sungai, atau memakai 30 ÷ 1,333 ≈ 22,5 m karena membalik rasio.

4Rangka Atap Rumah

Diketahui dan ditanyakan

Lebar bangunan 8 m, overhang 0,5 m per sisi, sudut atap 30°. Ditanyakan panjang kasau dan tinggi bubungan dari garis ujung overhang.

Model

Jarak horizontal dari ujung overhang ke garis tengah = setengah lebar + overhang = 4 + 0,5 = 4,5 m. Segitiga siku-siku terbentuk dari alas 4,5 m, tinggi bubungan, dan kasau sebagai sisi miring.

Kasau (cosinus): cos 30° = 4,5 / k → k = 4,5 / 0,866 ≈ 5,2 m Tinggi (tangen): tan 30° = t / 4,5 → t = 4,5 × 0,577 ≈ 2,6 m

Jawaban: kasau ≈ 5,2 m; tinggi bubungan ≈ 2,6 m. Jika overhang dilupakan, tukang menghitung 4 / 0,866 ≈ 4,6 m dan kasau akan kurang panjang.

Kesalahan umum: memakai alas 8 m (seluruh lebar) atau 4 m (tanpa overhang).

5Mengawasi Kapal dari Menara Pantai

Diketahui dan ditanyakan

Tinggi menara 60 m; sudut depresi 30° (kapal A) dan 45° (kapal B). Ditanyakan kebenaran lima pernyataan.

Konsep

Sudut depresi dari pengamat sama besar dengan sudut elevasi dari kapal ke pengamat (sudut dalam berseberangan). Tinggi menara adalah sisi depan dan jarak horizontal adalah sisi samping, sehingga dipakai tangen.

Kapal B: tan 45° = 60 / d_B → d_B = 60 m Kapal A: tan 30° = 60 / d_A → d_A = 60 / 0,577 ≈ 104 m Jarak A–B = 104 − 60 = 44 m

Alasan tiap pernyataan

BENAR1. d_B = 60 m.
BENAR2. d_A ≈ 104 m.
SALAH3. Sudut depresi yang lebih kecil berarti kapal lebih jauh. Kapal A (104 m) lebih jauh dari kapal B (60 m).
BENAR4. Keduanya segaris dan di sisi yang sama, maka jaraknya dikurangkan: 104 − 60 = 44 m.
SALAH5. Saat kapal mendekat, garis pandang makin curam, sehingga sudut depresi menjadi lebih besar dari 30°.

Jawaban: pernyataan 1, 2, dan 4.

Kesalahan umum: mengira sudut kecil berarti dekat, dan menjumlahkan 60 + 104 padahal posisi kapal sejajar di sisi yang sama.

6Jalan Menanjak ke Dusun

Diketahui dan ditanyakan

Panjang jalan (sisi miring) 200 m, beda tinggi (sisi depan) 40 m, batas 15°. Ditanyakan sudut kemiringan, evaluasi klaim Dita, dan kesesuaian dengan aturan.

a. Model

Segitiga siku-siku dengan sisi miring 200 m (jalan), sisi tegak 40 m (beda tinggi), dan sisi datar (jarak horizontal) yang tidak diketahui.

b. Sudut

Sisi depan dan sisi miring diketahui, maka dipakai sinus.

sin θ = 40/200 = 0,2 sin 11° ≈ 0,191 dan sin 12° ≈ 0,208 → θ ≈ 11,5° (sekitar 12°)

c. Evaluasi klaim Dita

Yang benar: 40 : 200 = 0,2 adalah hitungan yang benar, dan 0,2 = 20% juga benar sebagai bilangan.
Yang keliru: Dita menyamakan persen dengan derajat. Angka 0,2 adalah nilai sin θ, bukan besar sudut θ. Persentase kemiringan jalan sebenarnya berasal dari tan θ, yaitu 40 ÷ 196 ≈ 20,4% (jarak horizontal = √(200² − 40²) ≈ 196 m), dan satuannya persen, bukan derajat.

d. Kesimpulan

Sudut ≈ 11,5° < 15°, sehingga jalan memenuhi peraturan desa. Kesimpulan Dita bahwa jalan harus dibangun ulang tidak berdasar. Sebagai pembanding, sin 15° ≈ 0,259 berarti jalan baru melanggar bila beda tinggi lebih dari sekitar 52 m untuk panjang yang sama.

Kesalahan umum: menyamakan nilai rasio dengan besar sudut, dan menyamakan kemiringan persen dengan derajat.

7Menara Jam di Tengah Kolam

Diketahui dan ditanyakan

Tinggi mata 1,6 m; sudut elevasi 30° di P dan 60° di Q; PQ = 40 m; P, Q, dan dasar menara segaris. Ditanyakan tinggi menara dari tanah.

a. Model

Misal h = tinggi menara di atas garis mata dan x = jarak horizontal Q ke dasar menara. Jarak horizontal P ke dasar menara adalah x + 40.

b. Persamaan

Satu tangen tidak cukup karena tidak ada satu pun jarak horizontal ke dasar menara yang diketahui. Ada dua yang tak diketahui (h dan x), sehingga diperlukan dua persamaan dari dua sudut.

Dari Q: tan 60° = h/x → h = x√3 Dari P: tan 30° = h/(x + 40) → h = (x + 40)/√3 x√3 = (x + 40)/√3 → 3x = x + 40 → x = 20 m h = 20√3 ≈ 20 × 1,73 = 34,6 m Tinggi menara = 34,6 + 1,6 = 36,2 m

Pemeriksaan dari P: jarak 60 m, dan 60 × tan 30° = 60 × 0,577 ≈ 34,6 m. Cocok.

Jawaban: ≈ 36,2 m. Menara jam setinggi itu wajar, setara gedung sekitar 10 lantai.

c. Evaluasi pernyataan Dimas

Pernyataan Dimas salah. Angka 40 m adalah jarak antara P dan Q, bukan jarak horizontal dari Q ke dasar menara, yang sebenarnya 20 m. Hasil Dimas (69,3 m) hampir dua kali tinggi sebenarnya, dan tidak cocok dengan pengukuran dari P (60 m × tan 30° ≈ 34,6 m).

Kesalahan umum: memakai jarak berjalan sebagai jarak ke dasar menara, lupa menambah tinggi mata, dan memakai h pada dua segitiga berbeda tanpa menyamakannya.

8Kapal Nelayan dan Karang Tersembunyi

Diketahui

Tinggi pos 150 m; depresi 30° (10.00) dan 45° (10.01.30); selang 1,5 menit; karang 40 m dari dasar tebing; batas kecepatan 5 km/jam; syarat waktu minimal 2 menit.

a. Model

Segitiga siku-siku dengan tinggi 150 m dan alas berupa jarak horizontal kapal ke dasar tebing pada dua posisi.

b. Jarak horizontal (tangen)

10.00: tan 30° = 150/d₁ → d₁ = 150/0,577 ≈ 260 m (150√3 ≈ 259,8 m) 10.01.30: tan 45° = 150/d₂ → d₂ = 150 m

c. Kecepatan

Jarak ditempuh = 260 − 150 = 110 m dalam 1,5 menit Kecepatan = 110/1,5 ≈ 73,3 m/menit = 73,3 × 60 ÷ 1000 ≈ 4,4 km/jam

Karena 4,4 < 5, kapal mematuhi batas kecepatan.

d. Waktu menuju karang

Jarak sisa ke batas karang = 150 − 40 = 110 m Waktu = 110 / 73,3 = 1,5 menit

Nakhoda perlu minimal 2 menit, tetapi hanya tersedia 1,5 menit. Syarat tidak terpenuhi. Kapal mematuhi batas kecepatan tetapi belum aman. Nakhoda harus segera memperlambat atau mengubah haluan sekarang, bukan menunggu.

Kesalahan umum: memakai jarak total 260 m (bukan selisih 110 m) untuk kecepatan, salah konversi m/menit ke km/jam, dan lupa mengurangi 40 m untuk karang.

Kisi-kisi

No	Konteks	Konsep trigonometri	Bentuk	Kemampuan numerasi
1	Tiang bendera sekolah	Tangen, sudut elevasi, tinggi mata	Pilihan ganda	Memahami informasi dan menerapkan rasio; membedakan tinggi objek dari tinggi mata
2	Tangga bersandar pada dinding	Cosinus (mencari sudut), sinus (mencari tinggi)	Pilihan ganda	Memilih rasio yang tepat; menafsirkan hasil terhadap standar keselamatan
3	Lebar sungai	Tangen pada segitiga siku-siku	Isian singkat	Memodelkan situasi; menghitung dan membulatkan sesuai konteks
4	Rangka atap pelana	Cosinus dan tangen; jarak horizontal dengan overhang	Isian singkat	Memperhitungkan jarak horizontal yang benar; dua langkah penyelesaian
5	Kapal dari menara pantai	Sudut depresi, tangen, dua kedudukan	Pilihan ganda kompleks	Menalar sudut depresi; menilai kebenaran pernyataan secara matematis
6	Kemiringan jalan ke dusun	Sinus untuk mencari sudut; beda persen dan derajat	Uraian	Mengevaluasi klaim berdasarkan data; membuat keputusan atas aturan
7	Menara jam di tengah kolam	Dua sudut elevasi, sistem persamaan, tangen	Uraian	Menyusun model dua langkah; mengkritisi kekeliruan; menilai kewajaran
8	Kapal nelayan dan karang	Sudut depresi, tangen, kecepatan, konversi satuan	Uraian	Penalaran tingkat tinggi; mengintegrasikan trigonometri dengan kecepatan; mengambil keputusan

Jenjang kesulitan: soal 1–2 mudah, soal 3–5 sedang, soal 6–8 tinggi.

Rubrik penilaian soal uraian

Berlaku untuk Soal 6, 7, dan 8. Setiap kriteria dinilai pada skala 0–4, skor maksimal 16 per soal.

Kriteria	4	3	2	1	0
Pemahaman masalah Data diketahui, ditanyakan, sketsa	Semua data benar dan lengkap; sketsa berlabel lengkap (objek, jarak, sudut, garis pandang)	Data hampir lengkap; sketsa benar tetapi ada label kurang	Sebagian data benar; sketsa kurang tepat	Data sangat sedikit; sketsa tidak sesuai	Tidak ada
Model matematika Segitiga siku-siku, rasio, persamaan	Model dan rasio tepat serta beralasan	Model tepat tetapi alasan pemilihan rasio kurang	Model sebagian benar atau rasio salah di satu bagian	Model hampir tidak sesuai	Tidak ada
Ketepatan perhitungan	Runtut, benar, satuan dan pembulatan tepat	Satu kesalahan hitung kecil, langkah runtut	Beberapa kesalahan; langkah masih terbaca	Perhitungan sangat sedikit dan banyak salah	Tidak ada
Interpretasi dan penalaran Kewajaran, evaluasi klaim, keputusan	Kesimpulan benar, relevan dengan konteks, alasan matematis jelas	Kesimpulan benar, alasan kurang lengkap	Kesimpulan sebagian benar atau alasan lemah	Kesimpulan tidak didukung perhitungan	Tidak ada

Saran pembobotan

Soal 1 dan 2 masing-masing 2 poin; Soal 3 = 3 poin; Soal 4 = 4 poin (2 poin per isian); Soal 5 = 5 poin (1 poin per pernyataan yang dinilai benar); Soal 6, 7, 8 masing-masing 16 poin. Total = 64 poin.

Nilai akhir = (skor perolehan ÷ 64) × 100

Navigasi Materi