Segitiga Istimewa

Matematika SMA • Kelas X

Segitiga Istimewa

Mengenal segitiga istimewa, memahami perbandingan trigonometri, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah sehari-hari. Pelajari konsepnya, kerjakan soal, lalu buka pembahasan untuk memeriksa proses berpikirmu.

Sudut 30°–60°–90°Sudut 45°–45°–90°Soal aplikasiKuis interaktif

A. Mengenal Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa adalah segitiga siku-siku yang memiliki sudut tertentu sehingga perbandingan panjang sisinya dapat ditentukan dengan mudah.

Segitiga 45°–45°–90°

Kedua sisi siku-siku sama panjang.

Perbandingan sisi: 1:1:√(2)

Perbandingan sisi: x:x:x√2

Jika setiap sisi siku-siku panjangnya a, sisi miringnya a√(2).

Ingat! Pada segitiga siku-siku, sisi miring selalu berada di depan sudut 90° dan merupakan sisi terpanjang.

Segitiga 30°–60°–90°

Sisi di depan sudut 30° adalah sisi terpendek.

Perbandingan sisi: 1:√(3):2

Perbandingan sisi: x:x√(3):2x

Urutannya: sisi di depan 30°, sisi di depan 60°, lalu sisi miring.

Ingat! Pada segitiga siku-siku, sisi miring selalu berada di depan sudut 90° dan merupakan sisi terpanjang.

B. Nilai Perbandingan Trigonometri

Gunakan tabel berikut untuk membantu menyelesaikan soal tanpa kalkulator.

Sudut	sin θ	cos θ	tan θ
30°	12	√32	√33
45°	√22	√22	1
60°	√32	12	√3

Bagaimana memilih rumus?

Sinus: sisi depan sudut dibagi sisi miring.

sin θ = sisi depansisi miring

Cosinus: sisi samping sudut dibagi sisi miring.

cos θ = sisi sampingsisi miring

Tangen: sisi depan sudut dibagi sisi samping.

tan θ = sisi depansisi samping

C. Latihan Soal dan Pembahasan

Kerjakan setiap soal terlebih dahulu. Klik tombol Lihat Pembahasan hanya setelah kamu selesai mencoba.

Soal 1 — Menentukan sisi segitiga 45°

Segitiga siku-siku memiliki sudut 45°, 45°, dan 90°. Jika sisi miringnya 10√(2) cm, tentukan panjang kedua sisi siku-sikunya.

Kunci jawaban: 10 cm dan 10 cm.

Perbandingan sisi segitiga 45°–45°–90° adalah 1:1:√2=x:x:x√2. Misalkan setiap sisi siku-siku adalah x.

sisi terpanjang adalah:

x√2 = 10√2 maka x=10.

Jadi, kedua sisi siku-sikunya masing-masing 10 cm.

Soal 2 — Menentukan sisi segitiga 30°–60°–90°

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sudut 30°, 60°, dan 90°. Jika sisi terpendeknya 7 cm, tentukan panjang dua sisi lainnya.

Kunci jawaban: 7√(3) cm dan 14 cm.

Perbandingan sisi adalah 1:√(3):2 = x:x√(3):2x. Karena sisi terpendek x=7 cm, faktor pengalinya 7.

sisi di depan 60°=x√(3)=7√(3)

sisi miring=2x=2⨯7=14 cm

Soal 3 — Menghitung nilai trigonometri

Tentukan nilai: (a) sin 30°+cos 60°, (b) tan 45°+sin 60°, dan (c) 2cos 30°-sin 30°.

Kunci jawaban:

(a) 12+12=1

(b) 1 + √32 = 2 + √32

(c) 2√32- 12 = 2√3-12

Soal 4 — Tinggi segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki memiliki dua sisi sama panjang, masing-masing 10 cm. Sudut puncaknya 90°. Tentukan panjang alas dan tinggi segitiga.

Kunci jawaban: alas 10√2 cm dan tinggi 5√2 cm.

Garis tinggi membagi segitiga menjadi dua segitiga 45°–45°–90°. Sisi sama panjang 10 cm merupakan sisi miring segitiga kecil.

(x√2)=10

x=10√2

x=10√22

t=x=5√2

Setengah alas juga 5√2 cm. Jadi alas seluruhnya 2⨯(5√2)=10√2 cm.

Soal 5 — Aplikasi: Tangga bersandar pada dinding

Sebuah tangga panjangnya 6√2 meter bersandar pada dinding dan membentuk sudut 45° terhadap tanah. Tentukan tinggi ujung tangga dan jarak kaki tangga dari dinding.

Kunci jawaban: tinggi 6 m dan jarak dari dinding 6 m.

Panjang tangga adalah sisi miring. Pada segitiga 45°–45°–90°, kedua sisi siku-sikunya sama panjang.

x√2=6√2

x=6

a=t=x=6

Jadi, tinggi ujung tangga dan jarak kaki tangga dari dinding masing-masing 6 m.

Soal 6 — Aplikasi: Tinggi pohon

Seorang siswa berdiri 12 m dari pangkal pohon. Sudut elevasi dari posisi siswa ke puncak pohon adalah 30°. Jika tinggi mata siswa diabaikan, tentukan tinggi pohon.

Kunci jawaban: 4√3 m atau sekitar 6,93 m.

Jarak mendatar 12 m adalah sisi samping, sedangkan tinggi pohon h adalah sisi depan. Gunakan tangen.

tan 30°=t12

√33=t12

12√33=t

4√3=t

Jadi tinggi pohon adalah 4√3 meter

Soal 7 — Aplikasi: Jalan miring

Sebuah jalan miring membentuk sudut 30° terhadap tanah dan mencapai ketinggian 3 m. Berapa panjang jalan miring tersebut?

Kunci jawaban: 6 m.

Tinggi 3 m adalah sisi depan sudut 30°, sedangkan panjang jalan s adalah sisi miring.

sin 30°=3s

⇒ 12=3s

⇒ s=6 m

Soal 8 — Aplikasi: Tinggi gedung

Seorang pengamat berdiri 20 m dari kaki gedung. Sudut elevasi ke puncak gedung adalah 45°. Jika tinggi mata pengamat diabaikan, tentukan tinggi gedung.

Kunci jawaban: 20 m.

Gunakan perbandingan tangen karena diketahui jarak mendatar dan dicari tinggi.

tan 45°=(h)(20)

⇒1=(h)(20)

⇒ h=20 m

Soal 9 — Aplikasi: Desain atap rumah

Atap rumah berbentuk segitiga sama kaki dengan sudut puncak 90°. Lebar rumah 8√2 m. Tentukan tinggi atap dari tepi atas dinding hingga puncak atap.

Kunci jawaban: 4√2 m.

Karena atap simetris, garis tinggi membagi lebar menjadi dua bagian sama panjang.

(8√2):(2)=4√2 m

Sudut puncak 90° terbagi menjadi dua sudut 45°. Segitiga kecil yang terbentuk adalah segitiga 45°–45°–90°, sehingga tingginya sama dengan setengah lebar rumah, yaitu 4√2 m.

Soal 10 — Tantangan: Tinggi menara

Seorang siswa mengamati puncak menara dari titik yang berjarak 15 m dari kaki menara. Sudut elevasinya 60°. Tentukan tinggi menara jika tinggi mata siswa diabaikan.

Kunci jawaban: 15√3 m atau sekitar 25,98 m.

Jarak mendatar adalah sisi samping, tinggi menara h adalah sisi depan.

tan 60°=(h)(15)

⇒ √3=(h)(15)

⇒ h=15√3 m

D. Kuis Interaktif

Pilih satu jawaban yang paling tepat untuk setiap soal. Tekan Periksa Jawaban untuk melihat skor dan pembahasan.

1. Segitiga 45°–45°–90° memiliki sisi siku-siku 8 cm. Berapa panjang sisi miringnya?

A. 8√2 cm B. 16 cm C. 4√2 cm D. 8 cm

2. Segitiga 30°–60°–90° memiliki sisi miring 18 cm. Berapa sisi di depan sudut 30°?

A. 9√3 cm B. 9 cm C. 18√3 cm D. 6 cm

3. Nilai tan 60° adalah ...

A. 12 B. √33 C. 1 D. √3

4. Sebuah tangga panjangnya 10 m dan membentuk sudut 30° terhadap tanah. Berapa tinggi ujung tangga?

A. 5 m B. 5√3 m C. 10√3 m D. 10 m

5. Sebuah gedung diamati dari jarak 10√3 m dengan sudut elevasi 30°. Tinggi gedung (tinggi mata diabaikan) adalah ...

A. 10√3 m B. 30 m C. 10 m D. 5 m

E. Strategi Menyelesaikan Soal Aplikasi

1. Baca soal dan catat informasi yang diketahui.
2. Gambarkan segitiga siku-siku sesuai situasi.
3. Tandai sudut yang diketahui, sisi depan, sisi samping, dan sisi miring.
4. Pilih sinus, cosinus, atau tangen yang menghubungkan sisi-sisi tersebut.
5. Hitung hasilnya dan tuliskan satuan yang sesuai.

Refleksi: Mengapa kita perlu menggambar segitiga sebelum memilih perbandingan trigonometri? Tuliskan jawabanmu dengan bahasamu sendiri.

Materi pembelajaran Matematika SMA Kelas X • Segitiga Istimewa. Gunakan latihan ini untuk belajar mandiri dan periksa proses pengerjaan, bukan hanya hasil akhirnya.