Program Linear

MATEMATIKA SMA · ALJABAR

Program Linear

Mengubah masalah sehari-hari menjadi model matematika, menentukan daerah penyelesaian, lalu mencari nilai maksimum atau minimum.

KonsepMembuat modelGrafik interaktifContoh maksimumContoh minimumLatihan

1. Apa itu Program Linear?

Program Linear adalah metode matematika untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi tujuan dengan memperhatikan sejumlah kendala berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear.

Variabel keputusan

Besaran yang belum diketahui, misalnya banyak produk A (\(x\)) dan produk B (\(y\)).

Fungsi tujuan

Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan, misalnya keuntungan \(Z=4x+3y\).

Kendala

Batasan sumber daya, waktu, bahan, atau kapasitas yang ditulis sebagai pertidaksamaan linear.

Daerah penyelesaian

Daerah pada bidang koordinat yang memenuhi semua kendala secara bersamaan.

Ide utama: untuk program linear dua variabel, nilai optimum dapat ditemukan dengan memeriksa titik-titik pojok daerah penyelesaian yang memenuhi kendala.

2. Cara menyusun model matematika

1

Tentukan variabel.
Misalnya \(x\) = banyak produk A dan \(y\) = banyak produk B.

2

Tulis fungsi tujuan.
Jika keuntungan produk A Rp40.000 dan produk B Rp30.000, maka \(Z=40.000x+30.000y\).

3

Terjemahkan kendala.
Jika bahan atau waktu terbatas, tulis batasannya sebagai pertidaksamaan linear.

4

Tentukan syarat nonnegatif.
Untuk banyak produk, biasanya \(x\ge0\) dan \(y\ge0\).

Contoh pemodelan

Sebuah usaha membuat paket A dan paket B. Paket A membutuhkan 2 jam kerja dan 1 unit bahan. Paket B membutuhkan 1 jam kerja dan 2 unit bahan. Tersedia paling banyak 8 jam kerja dan 8 unit bahan.

Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah banyak paket A dan B. Kendalanya:

\[ \begin{cases} 2x+y\le8\\ x+2y\le8\\ x\ge0,\quad y\ge0 \end{cases} \]

Jika keuntungan per paket A Rp40.000 dan paket B Rp30.000, fungsi tujuan (dalam ribuan rupiah) adalah:

\[Z=40x+30y\quad\text{(maksimum)}\]

3. Eksplorasi daerah penyelesaian secara interaktif

Grafik di bawah menampilkan dua kendala contoh: \(2x+y\le8\) dan \(x+2y\le8\), dengan \(x\ge0\) dan \(y\ge0\). Ubah koefisien kendala atau fungsi tujuan, lalu tekan tombol untuk menghitung titik pojok dan nilai \(Z\).

Kendala 1: ax + by ≤ c

a b c

Kendala 2: dx + ey ≤ f

d e f

Fungsi tujuan: Z = px + qy

p q TujuanMaksimumMinimum

Grafik menampilkan kuadran pertama dan menggunakan rentang koordinat 0 sampai 12. Titik pojok ditentukan dari perpotongan garis kendala dan sumbu koordinat yang memenuhi semua kendala.

4. Contoh soal mencari nilai maksimum

Sebuah usaha memproduksi produk A dan B. Keuntungan produk A adalah Rp40.000 per unit dan produk B Rp30.000 per unit. Batasan sumber daya menghasilkan model:

\[ \begin{cases} 2x+y\le8\\ x+2y\le8\\ x\ge0,\quad y\ge0 \end{cases} \qquad Z=40x+30y \]

Langkah 1 — Tentukan titik pojok

Titik pojok daerah penyelesaian adalah \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,4)\), dan titik potong kedua garis \((8/3,8/3)\).

Langkah 2 — Hitung fungsi tujuan di setiap titik

Titik pojok	Nilai \(Z=40x+30y\)
\((0,0)\)	\(0\)
\((4,0)\)	\(160\)
\((0,4)\)	\(120\)
\((8/3,8/3)\)	\(560/3\approx186,67\)

Nilai maksimum model kontinu terjadi di \((8/3,8/3)\), dengan \(Z=560/3\) ribu rupiah, atau sekitar Rp186.667.

Catatan: jika \(x\) dan \(y\) menyatakan jumlah barang yang harus berupa bilangan bulat, titik pecahan tidak dapat langsung dipakai. Model bilangan bulat perlu diperiksa secara khusus.

5. Contoh mencari nilai minimum

Misalkan fungsi tujuan \(C=2x+3y\) akan diminimumkan dengan kendala:

\[ x+y\ge4,\quad x\ge1,\quad y\ge0 \]

Daerah layak tidak terbatas ke arah atas/kanan, tetapi nilai minimum dapat dicapai di titik pojok terendah yang memenuhi kendala. Salah satu titik pojok adalah \((1,3)\), dengan \(C=2(1)+3(3)=11\). Titik \((4,0)\) juga memenuhi kendala dan memberikan \(C=8\), sehingga nilai minimum adalah 8 pada \((4,0)\).

Nilai minimum: \(\boxed{C_{\min}=8}\) pada titik \((4,0)\).

6. Latihan interaktif

1. Dalam program linear, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut …

variabel keputusan fungsi tujuan daerah sumbu titik asal

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Fungsi tujuan menyatakan besaran yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan.

2. Jika \(x\) dan \(y\) menyatakan banyak barang, syarat nonnegatif yang umum adalah …

\(x\le0,y\le0\) \(x+y=0\) \(x\ge0,y\ge0\) \(x\ne y\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Banyak barang tidak negatif.

3. Titik yang perlu diperiksa untuk mencari nilai optimum pada program linear dua variabel adalah …

titik pojok daerah layak semua titik di luar daerah layak hanya titik \((1,1)\) hanya titik dengan koordinat negatif

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Jika optimum tercapai dan daerah layak memiliki titik pojok, cukup periksa nilai fungsi tujuan pada titik-titik pojoknya.

4. Jika \(Z=5x+2y\), nilai \(Z\) di titik \((2,3)\) adalah …

10 12 14 16

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. \(Z=5(2)+2(3)=10+6=16\).

5. Kendala \(2x+y\le8\) menyatakan …

nilai \(2x+y\) harus lebih besar dari 8 nilai \(2x+y\) tidak boleh melebihi 8 \(x\) harus sama dengan \(y\) \(x\) dan \(y\) harus negatif

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Simbol \(\le\) berarti kurang dari atau sama dengan.

7. Ringkasan langkah penyelesaian

1. Tentukan variabel keputusan.
2. Susun fungsi tujuan dan semua kendala.
3. Gambar garis batas kendala dan tentukan daerah yang memenuhi semuanya.
4. Tentukan semua titik pojok daerah layak.
5. Substitusikan titik pojok ke fungsi tujuan.
6. Pilih nilai terbesar untuk maksimum atau nilai terkecil untuk minimum.

Materi Kelas-Matematika.com · Model yang baik dimulai dari membaca soal dengan teliti.