Lingkaran

MATEMATIKA SMA

LINGKARAN

Mengenal unsur-unsur lingkaran, keliling, luas, sudut, busur, juring, persamaan lingkaran, dan garis singgung melalui penjelasan, contoh soal, serta eksplorasi interaktif.

🎯 Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik mampu:

• Mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran.
• Menghitung keliling dan luas lingkaran.
• Menentukan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring.
• Menentukan persamaan lingkaran berdasarkan pusat dan jari-jarinya.
• Menentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan lingkaran.

1. Pengertian dan Unsur-unsur Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang yang memiliki jarak sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap tersebut disebut pusat lingkaran.

Jarak dari pusat ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Unsur	Pengertian
Titik pusat	Titik tetap di tengah lingkaran.
Jari-jari (\(r\))	Jarak dari pusat ke titik pada lingkaran.
Diameter (\(d\))	Tali busur yang melalui pusat.
Tali busur	Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Busur	Bagian keliling lingkaran.
Juring	Daerah yang dibatasi dua jari-jari dan sebuah busur.
Tembereng	Daerah yang dibatasi tali busur dan busurnya.
Garis singgung	Garis yang menyentuh lingkaran di satu titik.

\[d=2r \qquad \text{dan} \qquad r=\frac{d}{2}\]

2. Keliling dan Luas Lingkaran

Keliling adalah panjang garis yang membatasi lingkaran, sedangkan luas adalah ukuran daerah di dalam lingkaran.

\[\boxed{K=2\pi r=\pi d}\]

\[\boxed{L=\pi r^2}\]

Nilai \(\pi\) dapat didekati dengan \(3{,}14\) atau \(\frac{22}{7}\) jika sesuai dengan perhitungan.

Contoh soal 1

Sebuah lingkaran mempunyai jari-jari 7 cm. Tentukan keliling dan luasnya.

Diketahui:

\(r=7\) cm dan \(\pi=\frac{22}{7}\).

Keliling: \[K=2\pi r\] \[K=2\times\frac{22}{7}\times7\] \[K=44\text{ cm}\] Luas: \[L=\pi r^2\] \[L=\frac{22}{7}\times7^2\] \[L=154\text{ cm}^2\]

Jawaban: keliling 44 cm dan luas 154 cm².

🔎 Eksplorasi 1: Mengubah Jari-jari

Geser slider dan amati bagaimana perubahan jari-jari memengaruhi keliling serta luas lingkaran.

Jari-jari: 7 satuan

3. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran.

Jika keduanya menghadap busur yang sama, berlaku:

\[\boxed{\text{Sudut pusat}=2\times\text{Sudut keliling}}\]

Sifat-sifat penting

• Sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.
• Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya \(90^\circ\).
• Sudut pusat sama dengan besar busur yang dihadapinya, jika dinyatakan dalam derajat.

Contoh soal 2

Sudut pusat AOB adalah \(100^\circ\). Tentukan sudut keliling ACB yang menghadap busur AB yang sama.

\[\angle ACB=\frac12\angle AOB\] \[\angle ACB=\frac12\times100^\circ\]

\[\boxed{\angle ACB=50^\circ}\]

4. Panjang Busur dan Luas Juring

Jika sudut pusat \(\theta\) dinyatakan dalam derajat, panjang busur dan luas juring dapat dihitung sebagai bagian dari keliling dan luas seluruh lingkaran.

\[\boxed{s=\frac{\theta}{360^\circ}\times2\pi r}\]

\[\boxed{L_j=\frac{\theta}{360^\circ}\times\pi r^2}\]

Keterangan:

• \(s\): panjang busur
• \(L_j\): luas juring
• \(\theta\): sudut pusat
• \(r\): jari-jari lingkaran

Contoh soal 3

Sebuah juring mempunyai jari-jari 14 cm dan sudut pusat \(90^\circ\). Tentukan panjang busur dan luas juring.

Panjang busur: \[s=\frac{90^\circ}{360^\circ}\times2\times\frac{22}{7}\times14\] \[s=\frac14\times88\] \[s=22\text{ cm}\] Luas juring: \[L_j=\frac{90^\circ}{360^\circ}\times\frac{22}{7}\times14^2\] \[L_j=\frac14\times616\] \[L_j=154\text{ cm}^2\]

Jawaban: panjang busur 22 cm dan luas juring 154 cm².

🔎 Eksplorasi 2: Sudut Pusat, Busur, dan Juring

Ubah sudut pusat untuk melihat perubahan panjang busur dan luas juring.

Sudut pusat: 90°

Jari-jari: 7 cm

Diagram menunjukkan proporsi sudut juring. Ukuran jari-jari pada perhitungan mengikuti nilai slider.

5. Persamaan Lingkaran

Pada geometri analitik, lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan pada bidang koordinat Cartesius.

A. Pusat di titik asal O(0,0)

\[\boxed{x^2+y^2=r^2}\]

Contoh: lingkaran berpusat di O dengan jari-jari 5 memiliki persamaan:

\[x^2+y^2=25\]

B. Pusat di titik (a,b)

\[\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\]

Contoh: pusat lingkaran \((2,-3)\) dan jari-jari 4.

\[(x-2)^2+(y+3)^2=16\]

C. Bentuk umum persamaan lingkaran

\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]

Pusat dan jari-jari dapat ditentukan dengan:

\[\boxed{P\left(-\frac A2,-\frac B2\right)}\]

\[\boxed{r=\sqrt{\frac{A^2+B^2}{4}-C}}\]

Contoh soal 4

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran:

\[x^2+y^2-6x+4y-12=0\]

Kelompokkan suku-suku: \[x^2-6x+y^2+4y=12\] Lengkapi kuadrat: \[(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=12+9+4\] Sehingga: \[(x-3)^2+(y+2)^2=25\]

Pusat: \((3,-2)\)
Jari-jari: \(r=\sqrt{25}=5\)

🔎 Eksplorasi 3: Grafik Persamaan Lingkaran

Geser pusat dan jari-jari. Amati perubahan posisi serta ukuran lingkaran pada bidang koordinat.

Koordinat pusat x: 0

Koordinat pusat y: 0

Jari-jari: 3

6. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Misalkan lingkaran memiliki pusat \((a,b)\) dan jari-jari \(r\). Untuk titik \(T(x_1,y_1)\), hitung jaraknya terhadap pusat:

\[d=\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2}\]

• Jika \(d<r\), titik berada di dalam lingkaran.
• Jika \(d=r\), titik berada pada lingkaran.
• Jika \(d>r\), titik berada di luar lingkaran.

Contoh soal 5

Lingkaran berpusat di \((0,0)\) memiliki jari-jari 5. Tentukan kedudukan titik \(T(3,4)\).

\[d=\sqrt{3^2+4^2}\] \[d=\sqrt{9+16}\] \[d=\sqrt{25}=5\]

Karena \(d=r=5\), titik T terletak pada lingkaran.

7. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Jari-jari yang ditarik ke titik singgung selalu tegak lurus terhadap garis singgung.

\[\boxed{\text{Jari-jari}\perp\text{garis singgung}}\]

A. Persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di O

Untuk lingkaran \(x^2+y^2=r^2\), persamaan garis singgung pada titik \((x_1,y_1)\) di lingkaran adalah:

\[\boxed{xx_1+yy_1=r^2}\]

B. Persamaan garis singgung dengan gradien m

Untuk lingkaran \(x^2+y^2=r^2\), garis singgung dengan gradien \(m\) dapat ditulis:

\[\boxed{y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}}\]

Contoh soal 6

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=25\) di titik \((3,4)\).

Gunakan rumus: \[xx_1+yy_1=r^2\] Substitusikan \(x_1=3\), \(y_1=4\), dan \(r^2=25\): \[3x+4y=25\]

Persamaan garis singgung: \(3x+4y=25\).

8. Aplikasi Lingkaran dalam Kehidupan

A. Roda sepeda

Sebuah roda mempunyai diameter 70 cm. Berapa jarak yang ditempuh dalam 100 putaran penuh jika roda tidak tergelincir?

Keliling roda: \[K=\pi d\] \[K=\frac{22}{7}\times70=220\text{ cm}\] Jarak untuk 100 putaran: \[100\times220=22.000\text{ cm}\] \[22.000\text{ cm}=220\text{ m}\]

Jarak yang ditempuh adalah 220 meter.

B. Taman berbentuk lingkaran

Sebuah taman berbentuk lingkaran mempunyai jari-jari 14 m. Berapa luas rumput yang dibutuhkan untuk menutupi seluruh taman?

\[L=\pi r^2\] \[L=\frac{22}{7}\times14^2\] \[L=616\text{ m}^2\]

Luas taman adalah 616 m².

9. Latihan Soal

Kerjakan terlebih dahulu sebelum membuka pembahasan.

Soal 1 — Keliling

Lingkaran mempunyai diameter 28 cm. Tentukan kelilingnya dengan \(\pi=\frac{22}{7}\).

\[K=\pi d\] \[K=\frac{22}{7}\times28\] \[\boxed{K=88\text{ cm}}\]

Soal 2 — Luas

Lingkaran mempunyai jari-jari 10 cm. Hitung luasnya dengan \(\pi=3{,}14\).

\[L=\pi r^2\] \[L=3{,}14\times10^2\] \[\boxed{L=314\text{ cm}^2}\]

Soal 3 — Sudut keliling

Sudut pusat yang menghadap busur AB adalah \(124^\circ\). Tentukan sudut keliling yang menghadap busur AB yang sama.

\[\text{Sudut keliling}=\frac12\times124^\circ\] \[\boxed{62^\circ}\]

Soal 4 — Panjang busur

Jari-jari lingkaran 21 cm dan sudut pusat \(120^\circ\). Hitung panjang busurnya dengan \(\pi=\frac{22}{7}\).

\[s=\frac{120^\circ}{360^\circ}\times2\pi r\] \[s=\frac13\times2\times\frac{22}{7}\times21\] \[\boxed{s=44\text{ cm}}\]

Soal 5 — Luas juring

Sebuah juring mempunyai jari-jari 14 cm dan sudut pusat \(45^\circ\). Tentukan luasnya.

\[L_j=\frac{45^\circ}{360^\circ}\times\frac{22}{7}\times14^2\] \[L_j=\frac18\times616\] \[\boxed{L_j=77\text{ cm}^2}\]

Soal 6 — Persamaan lingkaran

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \((2,3)\) dan mempunyai jari-jari 4.

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] \[(x-2)^2+(y-3)^2=16\]

Jawaban: \((x-2)^2+(y-3)^2=16\).

Soal 7 — Menentukan pusat dan jari-jari

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\).

\[x^2+4x+y^2-6y=12\] \[(x+2)^2+(y-3)^2=12+4+9\] \[(x+2)^2+(y-3)^2=25\]

Pusat \(\boxed{(-2,3)}\) dan jari-jari \(\boxed{5}\).

Soal 8 — Kedudukan titik

Lingkaran berpusat di \((0,0)\) berjari-jari 5. Apakah titik \((6,0)\) berada di dalam, pada, atau di luar lingkaran?

\[d=\sqrt{6^2+0^2}=6\] Karena \(6>5\), titik berada di luar lingkaran.

Soal 9 — Garis singgung

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=25\) pada titik \((0,5)\).

\[xx_1+yy_1=r^2\] \[0x+5y=25\] \[\boxed{y=5}\]

Soal 10 — Aplikasi

Sebuah roda berdiameter 56 cm berputar 50 kali tanpa tergelincir. Berapa jarak yang ditempuh? Gunakan \(\pi=\frac{22}{7}\).

\[K=\frac{22}{7}\times56=176\text{ cm}\] \[J=50\times176=8.800\text{ cm}\] \[8.800\text{ cm}=88\text{ m}\]

Jarak yang ditempuh adalah 88 meter.

10. Refleksi Pembelajaran

1. Apa perbedaan keliling dan luas lingkaran?
2. Mengapa sudut keliling yang menghadap diameter selalu siku-siku?
3. Bagaimana menentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran bentuk umum?
4. Mengapa garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgung?

Kesimpulan: lingkaran memiliki banyak sifat yang saling berhubungan. Pemahaman tentang jari-jari, sudut, busur, juring, persamaan, dan garis singgung membantu kita menyelesaikan berbagai masalah geometri dan kehidupan nyata.