Lingkaran

 

MATEMATIKA SMA

LINGKARAN

Mengenal unsur, keliling, luas, busur, juring, garis singgung, dan persamaan lingkaran melalui penjelasan, contoh, serta eksplorasi interaktif.

🎯 Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik diharapkan mampu:

• Mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran.
• Menghitung keliling dan luas lingkaran.
• Menentukan panjang busur dan luas juring.
• Memahami hubungan sudut pusat dan sudut keliling.
• Menentukan persamaan lingkaran pada bidang koordinat.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan lingkaran.

1. Pengertian dan Unsur-Unsur Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang yang memiliki jarak sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap tersebut disebut pusat lingkaran.

• Titik pusat: titik yang berada di tengah lingkaran, biasanya dilambangkan \(O\).
• Jari-jari: jarak dari titik pusat ke titik pada lingkaran, dilambangkan \(r\).
• Diameter: ruas garis melalui pusat yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
• Tali busur: ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
• Busur: bagian lengkung dari keliling lingkaran.
• Juring: daerah yang dibatasi dua jari-jari dan sebuah busur.
• Tembereng: daerah yang dibatasi tali busur dan busur lingkaran.
• Apotema: jarak tegak lurus dari pusat lingkaran ke tali busur.

\[d=2r \qquad \text{dan} \qquad r=\frac{d}{2}\]

2. Keliling dan Luas Lingkaran

A. Keliling lingkaran

Keliling adalah panjang seluruh garis lengkung yang membatasi lingkaran.

\[\boxed{K=2\pi r=\pi d}\]

B. Luas lingkaran

Luas adalah ukuran daerah yang berada di dalam lingkaran.

\[\boxed{L=\pi r^2}\]

Nilai \(\pi\) sering digunakan sebagai:

\[\pi\approx3{,}14 \qquad \text{atau} \qquad \pi=\frac{22}{7}\]

Contoh soal 1

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Tentukan keliling dan luasnya.

Penyelesaian:

Diketahui \(r=14\) cm.

Keliling:

\[K=2\pi r\] \[K=2\times\frac{22}{7}\times14\] \[K=88\text{ cm}\]

Luas:

\[L=\pi r^2\] \[L=\frac{22}{7}\times14^2\] \[L=\frac{22}{7}\times196\] \[L=616\text{ cm}^2\]

Jawaban: keliling 88 cm dan luas 616 cm².

🔎 Eksplorasi 1: Ubah Jari-Jari Lingkaran

Geser slider untuk melihat bagaimana jari-jari memengaruhi keliling dan luas lingkaran.

Jari-jari: 5 satuan

Amati: jika jari-jari menjadi dua kali lipat, keliling menjadi dua kali lipat, sedangkan luas menjadi empat kali lipat.

3. Panjang Busur dan Luas Juring

Busur dan juring merupakan bagian dari lingkaran yang ditentukan oleh sudut pusat \(\theta\).

Jika sudut pusat dinyatakan dalam derajat, berlaku:

Panjang busur

\[\boxed{s=\frac{\theta}{360^\circ}\times2\pi r}\]

Luas juring

\[\boxed{L_j=\frac{\theta}{360^\circ}\times\pi r^2}\]

Contoh soal 2

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 21 cm dan sudut pusat 60°. Tentukan panjang busur dan luas juringnya.

Penyelesaian:

Panjang busur:

\[s=\frac{60^\circ}{360^\circ}\times2\times\frac{22}{7}\times21\] \[s=\frac16\times132\] \[s=22\text{ cm}\]

Luas juring:

\[L_j=\frac{60^\circ}{360^\circ}\times\frac{22}{7}\times21^2\] \[L_j=\frac16\times1386\] \[L_j=231\text{ cm}^2\]

Jawaban: panjang busur 22 cm dan luas juring 231 cm².

Eksplorasi 2: Sudut Pusat dan Juring

Sudut pusat: 90°

Jari-jari: 6

4. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka:

\[\boxed{\text{Sudut pusat}=2\times\text{Sudut keliling}}\]

Contoh soal 3

Sudut pusat AOB menghadap busur AB sebesar 120°. Tentukan besar sudut keliling ACB yang menghadap busur AB yang sama.

Penyelesaian:

\[\angle ACB=\frac12\angle AOB\] \[\angle ACB=\frac12\times120^\circ\]

Jadi, sudut keliling ACB adalah 60°.

Sifat penting lainnya

• Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.
• Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90°.
• Sudut-sudut berhadapan pada segiempat tali busur berjumlah 180°.

5. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat pada satu titik. Jari-jari yang ditarik ke titik singgung selalu tegak lurus garis singgung.

\[\boxed{\text{Jari-jari}\perp\text{garis singgung}}\]

Panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran

Misalkan \(P\) adalah titik di luar lingkaran, \(O\) pusat lingkaran, \(T\) titik singgung, \(OP=d\), dan jari-jari \(OT=r\). Segitiga OPT siku-siku di T.

\[\boxed{PT=\sqrt{d^2-r^2}}\]

Contoh soal 4

Jarak titik P ke pusat lingkaran adalah 13 cm. Jika jari-jari lingkaran 5 cm, tentukan panjang garis singgung dari P.

Penyelesaian:

\[PT=\sqrt{OP^2-OT^2}\] \[PT=\sqrt{13^2-5^2}\] \[PT=\sqrt{169-25}\] \[PT=\sqrt{144}\]

Jadi, panjang garis singgung adalah 12 cm.

6. Persamaan Lingkaran pada Bidang Koordinat

Dalam geometri analitik, lingkaran dapat dinyatakan menggunakan persamaan koordinat.

A. Pusat di O(0, 0)

Jika pusat lingkaran berada di titik asal dan jari-jarinya \(r\), persamaannya:

\[\boxed{x^2+y^2=r^2}\]

B. Pusat di (a, b)

Jika pusatnya \(P(a,b)\), persamaannya:

\[\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\]

C. Bentuk umum

\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]

Pusat dan jari-jari dapat ditentukan dengan melengkapkan kuadrat.

\[\text{Pusat}=\left(-\frac A2,-\frac B2\right)\]

\[r=\sqrt{\frac{A^2+B^2}{4}-C}\]

Contoh soal 5

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:

\[x^2+y^2-6x+4y-12=0\]

Penyelesaian:

Kelompokkan suku-suku: \[x^2-6x+y^2+4y=12\] Lengkapi kuadrat: \[(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=12+9+4\] \[(x-3)^2+(y+2)^2=25\] Bandingkan dengan: \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

Pusat: \((3,-2)\) Jari-jari: \(r=\sqrt{25}=5\)

Eksplorasi 3: Grafik Persamaan Lingkaran

Ubah koordinat pusat dan jari-jari. Perhatikan bagaimana lingkaran berpindah dan berubah ukuran.

Koordinat pusat x (a): 0

Koordinat pusat y (b): 0

Jari-jari (r): 4

7. Aplikasi Lingkaran dalam Kehidupan

A. Roda sepeda

Sebuah roda memiliki diameter 70 cm. Berapa jarak yang ditempuh jika roda berputar 100 kali tanpa selip?

Keliling roda: \[K=\pi d\] \[K=\frac{22}{7}\times70=220\text{ cm}\] Jarak 100 putaran: \[s=100\times220=22.000\text{ cm}\] \[s=220\text{ m}\]

Jarak yang ditempuh adalah 220 meter.

B. Taman berbentuk lingkaran

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki jari-jari 7 m. Berapa luas taman tersebut?

\[L=\pi r^2\] \[L=\frac{22}{7}\times7^2\] \[L=154\text{ m}^2\]

Luas taman adalah 154 m².

C. Pizza berbentuk lingkaran

Sebuah pizza berdiameter 28 cm dipotong menjadi 8 bagian sama besar. Berapa luas setiap potongan?

Jari-jari: \[r=\frac{28}{2}=14\text{ cm}\] Luas seluruh pizza: \[L=\frac{22}{7}\times14^2=616\text{ cm}^2\] Luas setiap potongan: \[L_j=\frac{616}{8}=77\text{ cm}^2\]

Luas setiap potongan adalah 77 cm².

8. Latihan Soal

Kerjakan dahulu tanpa membuka kunci. Setelah selesai, klik tombol untuk melihat pembahasan.

Soal 1 — Keliling

Sebuah lingkaran berjari-jari 10 cm. Tentukan kelilingnya dalam bentuk \(\pi\).

\[K=2\pi r\] \[K=2\pi(10)\] \[\boxed{K=20\pi\text{ cm}}\]

Soal 2 — Luas

Sebuah lingkaran memiliki diameter 14 cm. Hitung luasnya.

\[r=\frac{14}{2}=7\text{ cm}\] \[L=\frac{22}{7}\times7^2\] \[\boxed{L=154\text{ cm}^2}\]

Soal 3 — Panjang busur

Jari-jari lingkaran 14 cm dan sudut pusat 90°. Tentukan panjang busurnya.

\[s=\frac{90^\circ}{360^\circ}\times2\pi(14)\] \[s=\frac14\times28\pi\] \[\boxed{s=7\pi\text{ cm}=22\text{ cm}}\]

Soal 4 — Luas juring

Lingkaran berjari-jari 12 cm memiliki sudut pusat 60°. Tentukan luas juring dalam bentuk \(\pi\).

\[L_j=\frac{60^\circ}{360^\circ}\times\pi(12)^2\] \[L_j=\frac16\times144\pi\] \[\boxed{L_j=24\pi\text{ cm}^2}\]

Soal 5 — Sudut keliling

Sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah 140°. Tentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

\[\text{Sudut keliling}=\frac12\times140^\circ\] \[\boxed{70^\circ}\]

Soal 6 — Garis singgung

Jarak titik P ke pusat lingkaran 17 cm. Jari-jari lingkaran 8 cm. Tentukan panjang garis singgung dari P.

\[PT=\sqrt{17^2-8^2}\] \[PT=\sqrt{289-64}\] \[PT=\sqrt{225}\] \[\boxed{PT=15\text{ cm}}\]

Soal 7 — Persamaan lingkaran

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \((2,-3)\) dengan jari-jari 4.

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] \[(x-2)^2+(y+3)^2=16\]

Jawaban: \((x-2)^2+(y+3)^2=16\).

Soal 8 — Bentuk umum

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2+y^2+4x-8y+11=0\).

\[x^2+4x+y^2-8y=-11\] \[(x+2)^2+(y-4)^2=-11+4+16\] \[(x+2)^2+(y-4)^2=9\]

Pusat: \((-2,4)\). Jari-jari: \(3\).

Soal 9 — Aplikasi roda

Diameter sebuah roda 56 cm. Berapa jarak yang ditempuh setelah roda berputar 50 kali tanpa selip?

\[K=\frac{22}{7}\times56=176\text{ cm}\] \[s=50\times176=8.800\text{ cm}\] \[\boxed{s=88\text{ m}}\]

Soal 10 — Tantangan

Sebuah lingkaran memiliki persamaan \(x^2+y^2-8x+6y-11=0\). Tentukan pusat dan jari-jarinya.

\[x^2-8x+y^2+6y=11\] \[(x-4)^2+(y+3)^2=11+16+9\] \[(x-4)^2+(y+3)^2=36\]

Pusat: \((4,-3)\). Jari-jari: \(6\).

9. Refleksi Pembelajaran

1. Apa perbedaan jari-jari, diameter, tali busur, dan busur?
2. Mengapa luas lingkaran bertambah empat kali ketika jari-jarinya menjadi dua kali lipat?
3. Bagaimana hubungan sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur yang sama?
4. Bagaimana cara menentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran bentuk umum?

Kesimpulan: konsep lingkaran digunakan untuk menghitung ukuran daerah dan panjang lengkung, memahami hubungan sudut, menentukan garis singgung, serta menyelesaikan masalah geometri analitik.