Irisan Kerucut #1

MATEMATIKA SMA · PAKET 1

Mengenal Irisan Kerucut

Dari bentuk geometri menuju persamaan matematika: lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.

Pelajari bagaimana posisi bidang menghasilkan bentuk kurva yang berbeda.

Tujuan Pembelajaran

• Menjelaskan pengertian irisan kerucut.
• Mengidentifikasi empat jenis kurva utama.
• Membedakan bentuk dasar persamaan setiap kurva.
• Menghubungkan bentuk geometri dengan persamaan aljabar.

1. Apa itu irisan kerucut?

Irisan kerucut (conic sections) adalah kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang datar memotong kerucut ganda. Bentuk kurva bergantung pada arah dan posisi bidang pemotong.

Empat jenis irisan pada kerucut

Perhatikan posisi bidang pemotong dan bentuk kurva yang dihasilkan.

Catatan: Parabola juga termasuk irisan kerucut. Kita akan mempelajarinya secara khusus dalam paket lanjutan agar pembahasan empat kurva utama menjadi lengkap.

2. Bentuk Dasar Persamaan

Berikut bentuk standar kurva yang berpusat atau berpuncak di sekitar titik asal. Unsur-unsur kurva akan dibahas lebih mendalam pada paket berikutnya.

Lingkaran

x² + y² = r²

Jika pusatnya (0, 0), jari-jari lingkaran adalah r.

Elips

x²a² + y²b² = 1

Kurva tertutup dengan dua sumbu yang umumnya berbeda panjang.

Parabola

y² = 4px

Bentuk ini membuka ke kanan jika p > 0.

Hiperbola

x²a² − y²b² = 1

Bentuk ini membuka ke kanan dan kiri.

Perhatikan tanda pada suku kuadrat: bentuk standar elips menggunakan penjumlahan, sedangkan hiperbola menggunakan pengurangan. Untuk menentukan jenis kurva secara umum, kita juga perlu memperhatikan koefisien dan kemungkinan adanya suku xy.

3. Jelajahi Bentuk Kurva

Pilih jenis kurva untuk melihat grafik sederhana dan ciri utamanya.

Lingkaran

x² + y² = 9

Semua titik pada lingkaran berjarak 3 satuan dari pusat (0, 0).

4. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1. Diketahui persamaan x² + y² = 25. Tentukan jenis kurva, pusat, dan jari-jarinya.

Penyelesaian:

Bentuk standar lingkaran berpusat di (h, k) adalah:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Dari persamaan x² + y² = 25, diperoleh h = 0, k = 0, dan r² = 25, sehingga r = 5.

Jawaban: Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5 satuan.

Contoh 2. Perhatikan persamaan x²/25 + y²/9 = 1. Tentukan jenis kurva dan panjang sumbu-sumbunya.

Penyelesaian: Kedua suku kuadrat dijumlahkan dengan penyebut positif, sehingga persamaan tersebut merupakan elips. Karena 25 lebih besar daripada 9 dan berada di bawah x², sumbu mayor terletak horizontal.

Jawaban: Elips berpusat di (0, 0), dengan a = 5 dan b = 3. Panjang sumbu mayor = 2a = 10 satuan dan panjang sumbu minor = 2b = 6 satuan.

5. Latihan Pemahaman

Pilih jawaban yang paling tepat, lalu tekan Periksa Jawaban.

1. Kurva yang terbentuk ketika bidang sejajar dengan salah satu garis pembentuk kerucut adalah …

Lingkaran Elips Parabola Hiperbola

2. Persamaan x² + y² = 49 menyatakan …

Lingkaran berjari-jari 7 Elips dengan sumbu mayor 7 Parabola berpuncak (0,0) Hiperbola

3. Salah satu ciri persamaan standar hiperbola adalah …

Tidak mempunyai suku kuadrat Kedua suku kuadrat selalu dijumlahkan Suku kuadrat x dan y memiliki tanda berlawanan Hanya memiliki satu variabel

4. Persamaan x²/4 + y²/16 = 1 menyatakan elips dengan sumbu mayor …

Horizontal Vertikal Tidak memiliki sumbu mayor Miring 45 derajat

6. Rangkuman

• Lingkaran: bentuk standar memiliki penjumlahan x² dan y² dengan koefisien sama.
• Elips: bentuk standar memiliki penjumlahan dua suku kuadrat dengan penyebut positif.
• Parabola: bentuk standar memiliki satu variabel yang dikuadratkan.
• Hiperbola: bentuk standar memiliki selisih dua suku kuadrat.

Refleksi: Mengapa empat kurva yang tampak berbeda dapat berasal dari satu kerucut yang sama? Jelaskan dengan bahasamu sendiri.

Seri Matematika SMA · Irisan Kerucut · Paket 1