Invers Fungsi

A. Pengertian Invers Fungsi

Invers fungsi adalah fungsi yang membalikkan proses suatu fungsi. Jika fungsi \(f\) mengubah suatu nilai \(x\) menjadi \(y\), maka fungsi invers \(f^{-1}\) mengubah \(y\) kembali menjadi \(x\).

ILUSTRASI KONSEP

Fungsi \(f\)

\(x \to y\)

Mengubah masukan menjadi keluaran

Fungsi invers \(f^{-1}\)

\(y \to x\)

Mengembalikan keluaran menjadi masukan

Contoh sederhana: jika suatu mesin menambahkan 5 pada bilangan yang dimasukkan, mesin inversnya mengurangi 5.

Notasi invers fungsi ditulis sebagai

\[ f^{-1}(x) \]

Perlu diingat, \(f^{-1}(x)\) bukan berarti \(\frac{1}{f(x)}\). Keduanya memiliki arti yang berbeda.

B. Syarat suatu fungsi memiliki invers

Suatu fungsi memiliki fungsi invers apabila fungsi tersebut bijektif, yaitu memenuhi dua kondisi:

• Injektif (satu-satu): setiap dua masukan yang berbeda menghasilkan keluaran yang berbeda.

• Surjektif (pada): setiap anggota kodomain merupakan hasil pemetaan dari setidaknya satu anggota domain.

Dalam materi SMA, syarat ini sering disederhanakan dengan memastikan bahwa fungsi satu-satu pada domain yang ditentukan.

Contoh:

• \(f(x)=2x+3\) memiliki invers pada bilangan real.

• \(f(x)=x^2\) tidak memiliki invers berupa fungsi pada seluruh bilangan real karena \(f(2)=f(-2)=4\).

Namun, fungsi \(f(x)=x^2\) dapat memiliki invers jika domainnya dibatasi, misalnya \(x\geq 0\).

C. Langkah-langkah menentukan invers fungsi

Untuk menentukan invers fungsi \(f(x)\), ikuti langkah-langkah berikut.

1

Tuliskan fungsi sebagai \(y=f(x)\)

Contoh: \(y=2x+3\).

2

Tukar posisi \(x\) dan \(y\)

Diperoleh \(x=2y+3\).

3

Selesaikan persamaan untuk \(y\)

\[ x=2y+3 \]

\[ 2y=x-3 \]

\[ y=\frac{x-3}{2} \]

4

Ganti \(y\) dengan \(f^{-1}(x)\)

Jadi,

\[ \boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}} \]

D. Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1 — Fungsi linear

Tentukan invers dari \(f(x)=3x-6\).

Penyelesaian:

Misalkan \(y=3x-6\). Tukar \(x\) dan \(y\):

\[ x=3y-6 \]

Pindahkan \(-6\) ke ruas kiri:

\[ x+6=3y \]

\[ y=\frac{x+6}{3} \]

Jadi,

\[ \boxed{f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}} \]

Contoh 2 — Fungsi pecahan

Tentukan invers dari

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3} \]

dengan \(x\neq 3\).

Penyelesaian:

Misalkan

\[ y=\frac{2x+1}{x-3} \]

Tukar \(x\) dan \(y\):

\[ x=\frac{2y+1}{y-3} \]

Kalikan silang:

\[ x(y-3)=2y+1 \]

\[ xy-3x=2y+1 \]

Kumpulkan suku yang memuat \(y\):

\[ xy-2y=3x+1 \]

\[ y(x-2)=3x+1 \]

Sehingga

\[ \boxed{f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}} \]

Domain fungsi invers adalah \(x\neq 2\).

Contoh 3 — Fungsi kuadrat dengan pembatasan domain

Tentukan invers dari \(f(x)=x^2+2\), jika domainnya \(x\geq 0\).

Penyelesaian:

\[ y=x^2+2 \]

Tukar \(x\) dan \(y\):

\[ x=y^2+2 \]

\[ y^2=x-2 \]

\[ y=\pm\sqrt{x-2} \]

Karena domain fungsi awal adalah \(x\geq0\), nilai keluaran fungsi invers harus tidak negatif. Oleh karena itu, dipilih akar positif.

\[ \boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}} \]

Domain inversnya adalah \(x\geq2\).

E. Memeriksa kebenaran invers fungsi

Dua fungsi merupakan invers satu sama lain apabila memenuhi:

\[ f\left(f^{-1}(x)\right)=x \]

dan

\[ f^{-1}(f(x))=x \]

Contoh: \(f(x)=2x+4\) dan \(f^{-1}(x)=\frac{x-4}{2}\).

Pemeriksaan:

\[ f\left(f^{-1}(x)\right) =2\left(\frac{x-4}{2}\right)+4 \]

\[ =x-4+4=x \]

Hasilnya \(x\), sehingga pemeriksaan pertama benar. Pemeriksaan kedua juga menghasilkan \(x\).

E. Latihan soal

Kerjakan soal-soal berikut terlebih dahulu sebelum membuka kunci jawaban.

Latihan Soal Invers Fungsi

Kerjakan soal terlebih dahulu. Klik tombol untuk melihat kunci jawaban dan pembahasannya.

Soal 1. Tentukan invers dari f(x) = 4x + 7.

Misalkan y = 4x + 7.
Tukar x dan y: x = 4y + 7.
4y = x − 7.
Jadi, f⁻¹(x) = (x − 7)/4.

Soal 2. Tentukan invers dari f(x) = 5 − 2x.

Misalkan y = 5 − 2x.
Tukar x dan y: x = 5 − 2y.
2y = 5 − x.
Jadi, f⁻¹(x) = (5 − x)/2.

Soal 3. Tentukan invers dari f(x) = (3x − 2)/(x + 4).

Misalkan y = (3x − 2)/(x + 4).
Tukar x dan y:
x = (3y − 2)/(y + 4).
x(y + 4) = 3y − 2.
xy + 4x = 3y − 2.
xy − 3y = −2 − 4x.
y(x − 3) = −2 − 4x.
Jadi, f⁻¹(x) = (4x + 2)/(3 − x), dengan x ≠ 3.

Soal 4. Tentukan invers dari f(x) = x² − 9 jika domainnya x ≥ 0.

Misalkan y = x² − 9.
Tukar x dan y: x = y² − 9.
y² = x + 9.
y = ±√(x + 9).
Karena domain fungsi awal x ≥ 0, dipilih akar positif.
Jadi, f⁻¹(x) = √(x + 9), dengan domain x ≥ −9.

Soal 5. Diketahui f(x) = 3x − 5. Tentukan f⁻¹(10).

Misalkan y = 3x − 5.
Tukar x dan y: x = 3y − 5.
3y = x + 5.
f⁻¹(x) = (x + 5)/3.
f⁻¹(10) = (10 + 5)/3 = 5.
Jawaban: 5.

Soal 6. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = f⁻¹(x). Tentukan g(9) dan periksa hasilnya dengan f(g(9)).

Invers f(x) = 2x + 1 adalah:
g(x) = (x − 1)/2.
g(9) = (9 − 1)/2 = 4.
Periksa: f(4) = 2(4) + 1 = 9.
Jawaban: g(9) = 4 dan f(g(9)) = 9.

Soal 7. Sebuah mesin mengubah bilangan masukan x menjadi f(x) = 3x + 12. Jika keluarannya 45, tentukan bilangan masukannya.

Misalkan y = 3x + 12.
Tukar x dan y: x = 3y + 12.
y = (x − 12)/3.
Untuk keluaran 45:
f⁻¹(45) = (45 − 12)/3 = 11.
Jawaban: bilangan masukannya adalah 11.

Soal 8. Apakah f(x) = x² memiliki invers berupa fungsi pada domain seluruh bilangan real? Jelaskan.

Jawaban: Tidak.
Sebab f(2) = 4 dan f(−2) = 4. Dua masukan berbeda menghasilkan keluaran yang sama. Jadi, fungsi tidak satu-satu pada seluruh bilangan real.
Fungsi ini dapat memiliki invers jika domainnya dibatasi, misalnya x ≥ 0. Dalam pembatasan tersebut, inversnya adalah f⁻¹(x) = √x, dengan x ≥ 0.

F. Ringkasan materi

• Invers fungsi membalikkan proses suatu fungsi.

• Invers fungsi ditulis \(f^{-1}(x)\), bukan \(\frac{1}{f(x)}\).

• Fungsi harus bijektif agar memiliki invers sebagai fungsi dari kodomain ke domain.

• Langkah menentukan invers: tulis \(y=f(x)\), tukar \(x\) dan \(y\), selesaikan untuk \(y\), lalu tulis \(f^{-1}(x)\).

• Domain fungsi awal menjadi kodomain invers, dan kodomain fungsi awal menjadi domain invers.

• Pemeriksaan invers dilakukan dengan komposisi fungsi yang menghasilkan \(x\).