Navigasi Materi

📚 PILIH MATERI
Bilangan Aljabar Geometri Data & Peluang Soal & Latihan STEM & Robotik Calculus Game Laboratorium Matematika

Fungsi Logaritma dan Eksplorasi Grafik #4

MATEMATIKA SMA · MATERI 4

Fungsi Logaritma dan Eksplorasi Grafik

Mengenal bentuk grafik, domain, range, asimtot, dan hubungan fungsi logaritma dengan fungsi eksponen melalui eksplorasi interaktif.

Tujuan pembelajaran: Siswa mampu menentukan karakteristik fungsi logaritma, menggambarkan grafiknya, dan menjelaskan pengaruh perubahan basis terhadap bentuk grafik.

A. Dari Persamaan Menuju Fungsi

Anak-anak, kita sudah mempelajari logaritma dan persamaan logaritma. Sekarang, mari kita melihat logaritma dari sudut pandang yang berbeda, yaitu sebagai sebuah fungsi.

Perhatikan fungsi berikut.

\[f(x)=\log_2 x\]

Fungsi tersebut berarti bahwa setiap nilai \(x\) positif dipasangkan dengan nilai logaritma basis 2 dari \(x\).

Misalnya:

\[\log_2 1=0\]
\[\log_2 2=1\]
\[\log_2 4=2\]
\[\log_2 8=3\]

Kita dapat menyusun pasangan nilai tersebut menjadi titik-titik koordinat. Jika semua titik digambarkan dan dihubungkan dengan kurva yang sesuai, terbentuklah grafik fungsi logaritma.

B. Bentuk Umum Fungsi Logaritma

\[\boxed{f(x)=\log_a x}\]

dengan syarat:

\[a>0,\qquad a\ne1,\qquad x>0\]

Di sini, \(a\) disebut basis, sedangkan \(x\) merupakan variabel yang menjadi masukan fungsi.

Ada dua kemungkinan bentuk grafik berdasarkan nilai basisnya:

1. Jika \(a>1\)

Grafik fungsi logaritma meningkat dari kiri ke kanan. Artinya, ketika \(x\) bertambah, nilai \(\log_a x\) juga bertambah.

\[f(x)=\log_2 x\]

Contoh basis yang termasuk kelompok ini adalah 2, 3, dan 10.

2. Jika \(0<a<1\)

Grafik fungsi logaritma menurun dari kiri ke kanan. Artinya, ketika \(x\) bertambah, nilai \(\log_a x\) justru berkurang.

\[f(x)=\log_{\frac12}x\]

Basis seperti \(\frac12\) dan \(\frac13\) termasuk kelompok ini.

C. Laboratorium Grafik Logaritma

Sekarang giliran kalian bereksplorasi. Ubah basis, geser titik, dan amati perubahan grafiknya.

Grafik logaritma Garis y = x Titik yang dipilih
Geser pengatur untuk mengubah posisi titik pada grafik.

Ayo amati!

  1. Gunakan basis 2, lalu ubah menjadi basis 3. Bagaimana perubahan grafiknya?
  2. Ubah basis menjadi \(\frac12\). Apa yang terjadi pada arah grafik?
  3. Geser \(x\) mendekati nol dari kanan. Bagaimana perilaku nilai fungsi?
  4. Perhatikan titik ketika \(x=1\). Apakah titik itu berubah ketika basis diganti?
Pertanyaan pemantik: Mengapa grafik fungsi logaritma tidak melewati atau berada pada daerah \(x\leq0\)?

Petunjuk: Numerus logaritma harus positif dalam bilangan real.

D. Domain dan Range

Setiap fungsi memiliki domain, yaitu kumpulan nilai masukan yang diperbolehkan, dan range, yaitu kumpulan nilai keluaran yang mungkin dihasilkan.

Domain

Untuk fungsi \(f(x)=\log_a x\), numerus harus positif.

\[x>0\]

Jadi, domainnya adalah:

\[\boxed{D_f=(0,\infty)}\]

Range

Nilai logaritma dapat berupa bilangan negatif, nol, maupun positif.

Contohnya, untuk basis 2:

\[\log_2\frac12=-1\]
\[\log_2 1=0\]
\[\log_2 2=1\]

Jadi, range-nya adalah:

\[\boxed{R_f=(-\infty,\infty)}\]

E. Titik Potong dan Asimtot

1. Titik potong sumbu-x

Titik potong sumbu-x terjadi ketika \(f(x)=0\).

\[\log_a x=0\]

Karena \(a^0=1\), maka \(x=1\).

\[\boxed{(1,0)}\]

Semua fungsi \(f(x)=\log_a x\) dengan basis yang memenuhi syarat melewati titik ini.

2. Titik potong sumbu-y

Grafik fungsi logaritma tidak memotong sumbu-y karena sumbu-y berada pada \(x=0\), sedangkan domain fungsi mensyaratkan \(x>0\).

3. Asimtot tegak

Ketika \(x\) mendekati nol dari kanan, grafik mendekati garis \(x=0\), tetapi tidak pernah mencapainya.

\[\boxed{x=0}\]

Garis tersebut merupakan asimtot tegak grafik fungsi logaritma.

F. Hubungan dengan Grafik Eksponen

Kita sudah mengetahui bahwa logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponen. Hubungan ini juga terlihat pada grafik.

\[y=a^x\iff x=\log_a y\]

Jika koordinat titik pada grafik eksponen adalah \((p,q)\), maka titik yang bersesuaian pada grafik logaritma adalah \((q,p)\).

Dengan demikian, grafik \(y=a^x\) dan \(y=\log_a x\) merupakan bayangan cermin terhadap garis \(y=x\).

Contoh

Pada grafik eksponen \(y=2^x\), terdapat titik:

\[(3,8)\]

Karena \(2^3=8\), titik yang bersesuaian pada grafik \(y=\log_2 x\) adalah:

\[\boxed{(8,3)}\]

Coba kembali ke laboratorium grafik di atas. Bayangkan bagaimana titik pada grafik eksponen bertukar posisi koordinatnya ketika berpindah ke grafik logaritma.

G. Membuat Tabel Nilai Fungsi

Untuk menggambar grafik secara manual, kita dapat membuat tabel nilai terlebih dahulu.

Misalnya:

\[f(x)=\log_2 x\]
xPerhitunganf(x)
\(\frac18\)\(\log_2 2^{-3}\)-3
\(\frac14\)\(\log_2 2^{-2}\)-2
\(\frac12\)\(\log_2 2^{-1}\)-1
1\(\log_2 1\)0
2\(\log_2 2\)1
4\(\log_2 2^2\)2
8\(\log_2 2^3\)3

Pasangan koordinatnya adalah:

\[\left(\frac18,-3\right),\left(\frac14,-2\right),\left(\frac12,-1\right)\]
\[(1,0),(2,1),(4,2),(8,3)\]

Plot titik-titik tersebut pada bidang koordinat, lalu hubungkan dengan kurva halus. Hasilnya akan menyerupai grafik yang ditampilkan di laboratorium interaktif.

H. Transformasi Grafik Logaritma

Grafik dasar dapat digeser atau dicerminkan dengan mengubah bentuk fungsinya.

1. Pergeseran vertikal

\[f(x)=\log_a x+k\]

Grafik bergeser ke atas jika \(k>0\), dan ke bawah jika \(k<0\).

2. Pergeseran horizontal

\[f(x)=\log_a(x-h)\]

Grafik bergeser ke kanan sejauh \(h\) jika \(h>0\). Domainnya berubah menjadi \(x>h\).

3. Pencerminan terhadap sumbu-x

\[f(x)=-\log_a x\]

Nilai keluaran dikalikan \(-1\), sehingga grafik dicerminkan terhadap sumbu-x.

Catatan: Untuk fungsi yang telah mengalami transformasi, domain, titik potong, dan asimtot perlu ditentukan kembali berdasarkan bentuk fungsi yang baru.

I. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Menentukan domain

Tentukan domain fungsi:

\[f(x)=\log_3(x-4)\]

Numerus harus positif.

\[x-4>0\]
\[x>4\]

Jadi, domainnya adalah:

\[\boxed{(4,\infty)}\]

Contoh 2 — Menentukan titik potong sumbu-x

Tentukan titik potong sumbu-x dari:

\[f(x)=\log_2(x+3)\]

Pada sumbu-x, \(f(x)=0\).

\[\log_2(x+3)=0\]
\[x+3=2^0=1\]
\[x=-2\]

Jadi, titik potong sumbu-x adalah:

\[\boxed{(-2,0)}\]

Contoh 3 — Menentukan asimtot

Tentukan asimtot tegak fungsi:

\[f(x)=\log_5(x-2)\]

Numerus mendekati nol ketika \(x-2\) mendekati nol.

\[x-2=0\implies x=2\]

Jadi, asimtot tegaknya adalah:

\[\boxed{x=2}\]

J. Latihan Interaktif

Pilih jawaban yang paling tepat. Setelah selesai, periksa jawaban dan baca pembahasannya.

1. Domain fungsi \(f(x)=\log_2 x\) adalah ...
2. Titik yang selalu dilewati grafik \(y=\log_a x\) adalah ...
3. Jika \(a>1\), grafik \(y=\log_a x\) bersifat ...
4. Nilai \(\log_{\frac12}2\) adalah ...
5. Asimtot tegak \(f(x)=\log_2(x-3)\) adalah ...
6. Titik potong sumbu-x \(f(x)=\log_2(x+2)\) adalah ...

K. Tantangan Penalaran

Soal: Diketahui fungsi:

\[f(x)=\log_2(x-1)\]

Tentukan:

  1. Domain fungsi.
  2. Titik potong sumbu-x.
  3. Asimtot tegak.
  4. Nilai \(x\) jika \(f(x)=3\).

Refleksi Pembelajaran

Sekarang kamu sudah mengenal grafik fungsi logaritma. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa grafik tersebut hanya berada pada \(x>0\), tetapi dapat menghasilkan semua nilai real?

Jika sudah, kamu siap melanjutkan ke penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari dan latihan campuran.

← Materi Sebelumnya Materi Berikutnya →