Fungsi Kuadrat

 

Materi Fungsi Kuadrat

1. Mengenal fungsi kuadrat

Pernahkah kamu melihat lintasan bola yang dilempar ke atas? Bola akan naik, mencapai titik tertinggi, lalu turun kembali. Lintasan seperti ini dapat dimodelkan menggunakan fungsi kuadrat.

6

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki pangkat tertinggi variabel \(x\) sama dengan 2.

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah

\[ \boxed{f(x)=ax^2+bx+c} \]

dengan \(a\), \(b\), dan \(c\) bilangan real serta \(a\ne0\).

Contoh:

• \(f(x)=x^2+2x-3\)

• \(f(x)=2x^2-4x+1\)

• \(f(x)=-x^2+6x-5\)

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Bentuk dan posisi parabola ditentukan oleh nilai \(a\), \(b\), dan \(c\).

2. Mengenal bagian-bagian grafik fungsi kuadrat

Perhatikan grafik fungsi berikut.

\[ f(x)=x^2-4x+3 \]

Add More

12345−10.511.522.53−0.5−1−1.5−2

0,0

Give feedback

Pada grafik tersebut, kita akan mempelajari empat hal penting:

• Titik potong sumbu-\(x\)

• Titik potong sumbu-\(y\)

• Titik puncak

• Arah terbuka parabola

Mari kita bahas satu per satu!

A. Titik potong sumbu-\(x\)

Titik potong sumbu-\(x\) adalah titik ketika grafik memotong atau menyentuh sumbu-\(x\).

Pada sumbu-\(x\), nilai \(y=0\). Karena itu, untuk mencari titik potong sumbu-\(x\), kita menyelesaikan persamaan

\[ ax^2+bx+c=0 \]

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus kuadrat.

Contoh

Diketahui:

\[ f(x)=x^2-4x+3 \]

Titik potong sumbu-\(x\) diperoleh dengan membuat \(f(x)=0\).

\[ \begin{aligned} x^2-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0 \end{aligned} \]

Jadi, \(x=1\) atau \(x=3\).

Titik potong sumbu-\(x\) adalah

\[ \boxed{(1,0)\text{ dan }(3,0)} \]

Ingat, koordinat titik pada sumbu-\(x\) selalu memiliki ordinat \(y=0\).

Bagaimana jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan dengan mudah? Kita dapat menggunakan diskriminan:

\[ D=b^2-4ac \]

• \(D>0\): dua titik potong berbeda pada sumbu-\(x\).

• \(D=0\): satu titik singgung pada sumbu-\(x\).

• \(D<0\): tidak ada titik potong dengan sumbu-\(x\) pada bilangan real.

B. Titik potong sumbu-\(y\)

Titik potong sumbu-\(y\) adalah titik ketika grafik memotong sumbu-\(y\).

Pada sumbu-\(y\), nilai \(x=0\). Substitusikan \(x=0\) ke dalam fungsi:

\[ \begin{aligned} f(x)&=x^2-4x+3\\ f(0)&=0^2-4(0)+3\\ f(0)&=3 \end{aligned} \]

Jadi, titik potong sumbu-\(y\) adalah

\[ \boxed{(0,3)} \]

Cara cepat: pada fungsi \(f(x)=ax^2+bx+c\), titik potong sumbu-\(y\) selalu \((0,c)\).

C. Titik puncak parabola

Titik puncak adalah titik tertinggi atau titik terendah pada grafik parabola.

Koordinat \(x\) titik puncak:

\[ \boxed{x_p=-\frac{b}{2a}} \]

Setelah mendapatkan \(x_p\), substitusikan ke fungsi untuk memperoleh koordinat \(y\):

\[ \boxed{y_p=f(x_p)} \]

Contoh

Untuk \(f(x)=x^2-4x+3\), diperoleh \(a=1\), \(b=-4\), dan \(c=3\).

\[ x_p=-\frac{-4}{2(1)}=2 \]

Selanjutnya,

\[ y_p=f(2)=2^2-4(2)+3=-1 \]

Jadi, titik puncaknya adalah

\[ \boxed{P(2,-1)} \]

Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang melewati titik puncak:

\[ \boxed{x=2} \]

D. Arah terbuka grafik

Arah terbuka parabola ditentukan oleh tanda koefisien \(a\).

Jika \(a>0\)

Parabola terbuka ke atas. Titik puncak merupakan titik terendah (minimum).

Jika \(a<0\)

Parabola terbuka ke bawah. Titik puncak merupakan titik tertinggi (maksimum).

Semakin besar nilai mutlak \(a\), parabola cenderung semakin sempit. Jika nilai mutlak \(a\) semakin kecil dan tetap bukan nol, parabola cenderung semakin lebar.

3. Laboratorium grafik interaktif

Sekarang, mari bereksperimen! Ubah nilai \(a\), \(b\), dan \(c\), lalu amati perubahan grafiknya. Coba ubah tanda \(a\), misalnya dari positif menjadi negatif.

Berikut kode HTML lengkap untuk dipasang di Blogger. Grafiknya dapat diubah langsung oleh siswa, dan kunci latihan bisa dibuka atau disembunyikan. Saya sertakan juga contoh soal serta soal aplikasi kehidupan sehari-hari.

Cara memasang: buka postingan atau halaman Blogger, pilih mode Tampilan HTML, lalu tempelkan kode berikut. Materi ini menggunakan CSS dan JavaScript mandiri, sehingga tidak memerlukan pustaka grafik tambahan.

1. Mengenal Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umumnya:

f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0

a, b, dan c adalah bilangan real. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Contoh fungsi kuadrat

• f(x) = x² + 2x − 3
• f(x) = 2x² − 4x + 1
• f(x) = −x² + 6x − 5

Perhatikan nilai a, b, dan c. Ketiganya membantu kita menentukan bentuk dan posisi grafik.

2. Titik Potong Sumbu-x

Titik potong sumbu-x adalah titik pada grafik yang memiliki y = 0. Untuk mencarinya, selesaikan persamaan:

ax² + bx + c = 0

Contoh: tentukan titik potong sumbu-x dari f(x) = x² − 4x + 3.

x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0

x = 1 atau x = 3

(1, 0) dan (3, 0)

Diskriminan dapat membantu mengetahui banyaknya titik potong dengan sumbu-x.

D = b² − 4ac

• D > 0: dua titik potong berbeda.
• D = 0: satu titik singgung.
• D < 0: tidak ada titik potong sumbu-x pada bilangan real.

3. Titik Potong Sumbu-y

Pada sumbu-y, nilai x = 0. Karena itu, substitusikan x = 0 ke fungsi kuadrat.

Contoh: f(x) = x² − 4x + 3.

f(0) = 0² − 4(0) + 3 = 3

Titik potong sumbu-y = (0, 3)

Cara cepat: pada f(x) = ax² + bx + c, titik potong sumbu-y selalu (0, c).

4. Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Titik puncak merupakan titik terendah atau tertinggi pada parabola.

x_p = −b / 2a

Setelah memperoleh x_p, hitung y_p = f(x_p).

Contoh: f(x) = x² − 4x + 3.

a = 1, b = −4, c = 3.

x_p = −(−4) / (2 × 1) = 2

y_p = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1

Titik puncak P = (2, −1)

Sumbu simetrinya adalah x = 2.

5. Arah Terbuka Parabola

Jika a > 0: parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan titik minimum.

Jika a < 0: parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan titik maksimum.

Lebar parabola: semakin besar nilai |a|, parabola cenderung semakin sempit. Semakin kecil nilai |a| (tetap bukan nol), parabola cenderung semakin lebar.

6. Laboratorium Grafik Interaktif

Mari bereksperimen! Geser nilai a, b, dan c. Amati perubahan grafik, titik potong, dan titik puncaknya.

Nilai a

1

Mengubah arah dan lebar parabola.

Nilai b

−4

Mengubah posisi puncak.

Nilai c

3

Mengubah titik potong sumbu-y.

Grafik menampilkan jendela koordinat sekitar −10 sampai 10. Titik potong yang berada di luar jendela mungkin tidak terlihat.

7. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Diketahui f(x) = x² − 6x + 5. Tentukan titik potong kedua sumbu, titik puncak, dan arah terbukanya.

Titik potong sumbu-x:

x² − 6x + 5 = 0

(x − 1)(x − 5) = 0, sehingga x = 1 atau 5.

Titiknya (1, 0) dan (5, 0).

Titik potong sumbu-y: f(0) = 5, yaitu (0, 5).

Titik puncak: x_p = 6/2 = 3.

y_p = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.

Titik puncak (3, −4), sumbu simetri x = 3.

Arah terbuka: ke atas karena a = 1 > 0.

Contoh 2

Diketahui g(x) = −x² + 4x + 5. Tentukan titik puncak dan nilai maksimumnya.

a = −1 dan b = 4.

x_p = −4 / (2 × −1) = 2.

g(2) = −4 + 8 + 5 = 9.

Titik puncak adalah (2, 9). Karena a < 0, parabola terbuka ke bawah dan nilai maksimum g(x) adalah 9.

8. Fungsi Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

Aplikasi 1: Bola yang dilempar ke atas

Tinggi bola setelah t detik dimodelkan oleh:

h(t) = −5t² + 20t + 1

h dalam meter dan t dalam detik. Berapa tinggi maksimum bola?

a = −5 dan b = 20.

t_p = −20 / (2 × −5) = 2 detik.

h(2) = −5(4) + 20(2) + 1 = 21.

Jadi, tinggi maksimum bola adalah 21 meter, setelah 2 detik.

Aplikasi 2: Luas kebun

Seorang siswa memiliki pagar sepanjang 20 meter untuk membuat kebun berbentuk persegi panjang. Jika lebar kebun x meter, panjangnya adalah (10 − x) meter.

Luas kebun dinyatakan dengan:

L(x) = x(10 − x) = −x² + 10x

Tentukan ukuran kebun agar luasnya maksimum.

a = −1 dan b = 10.

x_p = −10 / (2 × −1) = 5.

Lebar = 5 meter dan panjang = 10 − 5 = 5 meter.

Luas maksimum = 5 × 5 = 25 m².

Jadi, kebun berbentuk persegi berukuran 5 m × 5 m menghasilkan luas maksimum 25 m².

9. Latihan Mandiri

Kerjakan dahulu di buku catatanmu. Setelah selesai, klik tombol untuk memeriksa kunci jawaban.

Soal 1. Diketahui f(x) = x² − 2x − 8. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) = 0.

Titik potong sumbu-x: (4, 0) dan (−2, 0).

Titik potong sumbu-y: (0, −8).

Soal 2. Diketahui g(x) = 2x² − 8x + 3. Tentukan titik puncak dan sumbu simetrinya.

x_p = −(−8)/(2 × 2) = 2.

g(2) = 8 − 16 + 3 = −5.

Titik puncak (2, −5) dan sumbu simetri x = 2.

Soal 3. Grafik f(x) = −2x² + 4x + 6 terbuka ke arah mana? Tentukan nilai maksimumnya.

a = −2, sehingga parabola terbuka ke bawah.

x_p = −4/(2 × −2) = 1.

f(1) = −2 + 4 + 6 = 8.

Nilai maksimum adalah 8, pada x = 1.

Soal 4 — Aplikasi. Tinggi sebuah benda dinyatakan dengan h(t) = −2t² + 12t + 2. Tentukan waktu ketika benda mencapai tinggi maksimum dan tinggi maksimumnya.

t_p = −12/(2 × −2) = 3 detik.

h(3) = −2(9) + 12(3) + 2 = 20.

Benda mencapai tinggi maksimum 20 meter setelah 3 detik.

Refleksi: Apa yang terjadi pada grafik ketika nilai a berubah dari positif menjadi negatif? Bagaimana perubahan nilai c memengaruhi titik potong sumbu-y?

Selamat belajar dan bereksplorasi! Teruslah bertanya, mencoba, dan menemukan pola matematika.