Deteminan

MATEMATIKA SMA · ALJABAR

Metode Determinan untuk Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV

Belajar Aturan Cramer, determinan ordo 2 × 2, dan cara praktis Aturan Sarrus dengan bantuan warna.

KonsepDeterminan 2 × 2Sarrus berwarnaContoh SPLDVContoh SPLTVJika D = 0Latihan

1. Apa itu determinan?

Determinan adalah suatu nilai bilangan yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi. Dalam sistem persamaan linear, determinan dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel melalui Aturan Cramer.

SPLDV

Dua variabel, \(x\) dan \(y\). Menggunakan determinan matriks berordo \(2\times2\).

SPLTV

Tiga variabel, \(x\), \(y\), dan \(z\). Menggunakan determinan matriks berordo \(3\times3\).

Prinsip utama: hitung determinan utama \(D\), lalu determinan pengganti \(D_x,D_y\), dan (untuk SPLTV) \(D_z\). Jika \(D\ne0\), sistem memiliki tepat satu solusi.

2. Determinan matriks \(2\times2\)

Untuk matriks

\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \qquad\Rightarrow\qquad \det(A)=ad-bc \]

Caranya: kalikan diagonal utama \(a\times d\), lalu kurangi hasil kali diagonal lainnya \(b\times c\).

Contoh

\[ D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix} =(2)(-1)-(1)(1)=-3 \]

Ingat

Urutannya adalah diagonal utama dikurangi diagonal lainnya. Tanda negatif tetap harus dihitung dengan teliti.

3. Cara praktis determinan \(3\times3\): Aturan Sarrus berwarna

Untuk matriks

\[ D=\begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} \]

Bayangkan dua kolom pertama ditulis kembali di sebelah kanan. Lalu ikuti diagonalnya. Warna yang sama berarti tiga angka itu dikalikan bersama.

Susunan matriks

a

b

c

d

e

f

g

h

i

Warna di sini membantu mengenali kelompok angka; diagonal dibaca menurut pola pada langkah berikut.

Rumus ringkas

① Jumlahkan diagonal turun ke kanan

\[ aei+bfg+cdh \]

② Kurangi jumlah diagonal naik ke kanan

\[ ceg+bdi+afh \]

\[ \boxed{D=(aei+bfg+cdh)-(ceg+bdi+afh)} \]

Visual kelompok diagonal berwarna

Setiap baris di bawah menunjukkan satu kelompok diagonal yang harus dikalikan. Gunakan warna sebagai penanda kelompok, bukan untuk menjumlahkan angka-angkanya secara langsung.

Diagonal turun (ditambahkan)

a × e × i = \(aei\)

b × f × g = \(bfg\)

c × d × h = \(cdh\)

Jumlah: \(aei+bfg+cdh\)

Diagonal naik (dikurangkan)

c × e × g = \(ceg\)

b × d × i = \(bdi\)

a × f × h = \(afh\)

Jumlah: \(ceg+bdi+afh\)

Trik mengingat: diagonal turun ditambah, diagonal naik dikurang. Setiap diagonal memuat tepat tiga angka.

Contoh perhitungan Aturan Sarrus

\[ D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\2&0&1\end{vmatrix} \]

Diagonal turun:

\[ (1)(1)(1)+(2)(4)(2)+(3)(0)(0)=1+16+0=17 \]

Diagonal naik:

\[ (3)(1)(2)+(2)(0)(1)+(1)(4)(0)=6+0+0=6 \]

\[ D=17-6=\boxed{11} \]

4. Aturan Cramer untuk SPLDV

Bentuk umum:

\[ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} \]

Determinan utama dan determinan pengganti:

\[ D=\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix},\quad D_x=\begin{vmatrix}c&b\\f&e\end{vmatrix},\quad D_y=\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix} \]

Jika \(D\ne0\):

\[ \boxed{x=\frac{D_x}{D}\qquad y=\frac{D_y}{D}} \]

Contoh langkah demi langkah

Selesaikan:

\[ \begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases} \]

1. Determinan utama

\[ D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix} =2(-1)-1(1)=-3 \]

2. Determinan \(D_x\)

\[ D_x=\begin{vmatrix}7&1\\2&-1\end{vmatrix} =7(-1)-1(2)=-9 \]

3. Determinan \(D_y\)

\[ D_y=\begin{vmatrix}2&7\\1&2\end{vmatrix} =2(2)-7(1)=-3 \]

4. Hitung variabel

\[ x=\frac{-9}{-3}=3,\qquad y=\frac{-3}{-3}=1 \]

Jadi, solusi SPLDV adalah \((x,y)=(3,1)\).

5. Aturan Cramer untuk SPLTV

Bentuk umum:

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]

Hitung determinan utama \(D\), lalu ganti kolom koefisien \(x\), \(y\), atau \(z\) dengan kolom konstanta untuk mendapatkan \(D_x,D_y,D_z\).

\[ D=\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix} \]

Determinan \(D_x\)

\[ \begin{vmatrix} d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3 \end{vmatrix} \]

Determinan \(D_y\)

\[ \begin{vmatrix} a_1&d_1&c_1\\a_2&d_2&c_2\\a_3&d_3&c_3 \end{vmatrix} \]

Determinan \(D_z\)

\[ \begin{vmatrix} a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\\a_3&b_3&d_3 \end{vmatrix} \]

\[ \boxed{x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D},\quad z=\frac{D_z}{D}} \]

Contoh SPLTV

Selesaikan:

\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=4\\ 2x+y-z=5 \end{cases} \]

Determinan utama:

\[ D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=6 \]

Determinan pengganti:

\(D_x\)

\[ \begin{vmatrix}6&1&1\\4&-1&1\\5&1&-1\end{vmatrix}=18 \]

\(D_y\)

\[ \begin{vmatrix}1&6&1\\1&4&1\\2&5&-1\end{vmatrix}=6 \]

\(D_z\)

\[ \begin{vmatrix}1&1&6\\1&-1&4\\2&1&5\end{vmatrix}=12 \]

Karena \(D=6\ne0\), maka:

\[ x=\frac{18}{6}=3,\quad y=\frac{6}{6}=1,\quad z=\frac{12}{6}=2 \]

Jadi, solusi SPLTV adalah \((x,y,z)=(3,1,2)\). Cek: \(3+1+2=6\), \(3-1+2=4\), dan \(2(3)+1-2=5\).

6. Bagaimana jika \(D=0\)?

Jika \(D\ne0\)

Sistem memiliki tepat satu solusi dan Aturan Cramer dapat digunakan.

Jika \(D=0\)

Aturan Cramer tidak langsung memberikan solusi tunggal. Sistem bisa tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga banyak solusi. Periksa lebih lanjut dengan eliminasi atau substitusi.

Jangan membagi dengan nol. Jika \(D=0\), jangan menggunakan rumus \(x=D_x/D\) dan seterusnya untuk menentukan nilai variabel.

7. Latihan interaktif

Pilih jawaban yang tepat. Klik tombol periksa untuk melihat skor. Kunci dan pembahasan bisa dibuka satu per satu.

1. Determinan \(\begin{vmatrix}3&2\1&4\end{vmatrix}\) adalah …

8 10 14 8

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. \(3(4)-2(1)=12-2=10\).

2. Pada Aturan Sarrus, jumlah diagonal turun ke kanan …

dikurangkan dari setiap baris dibagi dengan determinan utama dikurangi dengan jumlah diagonal naik ke kanan selalu bernilai nol

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Determinan adalah jumlah hasil kali diagonal turun dikurangi jumlah hasil kali diagonal naik.

3. Jika determinan utama \(D\ne0\), sistem memiliki …

tepat satu solusi tidak ada solusi tak hingga solusi selalu tiga solusi

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Aturan Cramer berlaku untuk solusi tunggal ketika \(D\ne0\).

4. Untuk SPLDV, \(x\) dihitung dengan rumus …

\(D/D_x\) \(D_y/D\) \(D_x+D\) \(D_x/D\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. Aturan Cramer menyatakan \(x=\frac{D_x}{D}\).

5. Dalam menghitung \(D_y\) untuk SPLTV, kolom yang diganti oleh konstanta adalah …

kolom pertama kolom kedua kolom ketiga semua kolom

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Untuk \(D_y\), kolom koefisien \(y\) diganti dengan kolom konstanta.

8. Ringkasan langkah cepat

1. Tulis koefisien persamaan dalam matriks.
2. Hitung determinan utama \(D\).
3. Ganti kolom variabel dengan kolom konstanta untuk menghitung determinan pengganti.
4. Jika \(D\ne0\), bagi setiap determinan pengganti dengan \(D\).
5. Periksa hasil dengan memasukkan nilai variabel ke persamaan awal.

Materi Kelas-Matematika.com · Pahami pola diagonal, teliti tanda positif dan negatif, lalu periksa hasilnya.