Barisan dan Deret

MATEMATIKA SMA

Barisan dan Deret Aritmetika & Geometri

Kenali pola bilangan, temukan rumusnya, dan gunakan matematika untuk memahami pertumbuhan, tabungan, susunan benda, serta berbagai masalah kehidupan sehari-hari.

🎯 Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik diharapkan mampu:

Mengidentifikasi pola dan menentukan suku suatu barisan.
Membedakan barisan aritmetika dan geometri.
Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama.
Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret.
Menjelaskan strategi penyelesaian secara logis dan sistematis.

1. Memahami Barisan dan Deret

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang mengikuti pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku.

Contoh:

\(2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots\)

Bilangan-bilangan tersebut merupakan barisan. Jika suku-sukunya dijumlahkan, kita memperoleh deret:

\(2+5+8+11+14+\cdots\)

Perbedaan penting: barisan berisi urutan bilangan, sedangkan deret merupakan penjumlahan suku-suku barisan.

2. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan yang mempunyai selisih tetap antara dua suku berurutan. Selisih tetap ini disebut beda dan dilambangkan dengan \(b\) atau \(d\).

Contoh pola:

\(3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ldots\)

Selisih setiap dua suku berurutan:

\(7-3=4\)

\(11-7=4\)

\(15-11=4\)

Jadi, beda barisan tersebut adalah \(b=4\).

Rumus suku ke-n

\[U_n=a+(n-1)b\]

Keterangan:

\(U_n\): suku ke-n
\(a\): suku pertama
\(n\): nomor suku
\(b\): beda

Contoh soal 1

Diketahui barisan \(5, 9, 13, 17,\ldots\). Tentukan suku ke-20.

Diketahui:

\(a=5\), \(b=9-5=4\), dan \(n=20\).

Gunakan rumus:

\[U_n=a+(n-1)b\] \[U_{20}=5+(20-1)4\] \[U_{20}=5+19(4)\] \[U_{20}=5+76\]

Jadi, suku ke-20 adalah 81.

🔎 Eksplorasi Interaktif 1: Barisan Aritmetika

Geser nilai suku pertama dan beda. Amati perubahan suku-sukunya.

Suku pertama (a): 2

Beda (b): 3

Nomor suku (n): 5

Barisan yang terbentuk:

Coba ubah beda menjadi negatif. Apakah suku-sukunya semakin kecil?

3. Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan aritmetika.

\(S_n=a+(a+b)+(a+2b)+\cdots+U_n\)

Rumus jumlah n suku pertama

\[S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)\]

Karena \(U_n=a+(n-1)b\), rumus tersebut juga dapat ditulis:

\[S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)b\right]\]

Mengapa rumusnya demikian?

Misalkan:

\[S_n=a+(a+b)+(a+2b)+\cdots+U_n\]

Tulis kembali deret dalam urutan terbalik:

\[S_n=U_n+\cdots+(a+2b)+(a+b)+a\]

Jika kedua baris dijumlahkan, setiap pasangan bernilai \(a+U_n\). Terdapat \(n\) pasangan, sehingga:

\[2S_n=n(a+U_n)\]

Dengan demikian:

\[\boxed{S_n=\frac{n(a+U_n)}{2}}\]

Contoh soal 2

Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan \(2,5,8,11,\ldots\).

Diketahui:

\(a=2\), \(b=3\), \(n=20\).

Tentukan suku ke-20 terlebih dahulu:

\[U_{20}=2+(20-1)3\] \[U_{20}=2+57=59\]

Hitung jumlah 20 suku pertama:

\[S_{20}=\frac{20}{2}(2+59)\] \[S_{20}=10(61)\]

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 610.

4. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku berurutan. Rasio dilambangkan dengan \(r\).

Contoh pola:

\(2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots\)

Perbandingan dua suku berurutan:

\[\frac{6}{2}=3\] \[\frac{18}{6}=3\]

Jadi, rasionya adalah \(r=3\).

Rumus suku ke-n

\[U_n=ar^{n-1}\]

Keterangan:

\(a\): suku pertama
\(r\): rasio
\(n\): nomor suku

Contoh soal 3

Diketahui barisan \(3,6,12,24,\ldots\). Tentukan suku ke-8.

Diketahui:

\(a=3\), \(r=\frac{6}{3}=2\), dan \(n=8\).

\[U_n=ar^{n-1}\] \[U_8=3(2)^{8-1}\] \[U_8=3(2^7)\] \[U_8=3(128)\]

Jadi, suku ke-8 adalah 384.

🔎 Eksplorasi Interaktif 2: Barisan Geometri

Ubahlah suku pertama dan rasio untuk melihat bagaimana pola perkalian membentuk barisan.

Suku pertama (a): 2

Rasio (r): 2

Nomor suku (n): 5

Barisan yang terbentuk:

Perhatikan: jika rasio negatif, tanda suku akan berganti-ganti. Jika rasio berada di antara 0 dan 1, nilai mutlak suku cenderung mengecil.

5. Deret Geometri

Deret geometri merupakan penjumlahan suku-suku suatu barisan geometri.

\(S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\)

Rumus jumlah n suku pertama

Untuk \(r\ne1\), rumusnya adalah:

\[S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\]

Rumus yang setara adalah:

\[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

Kedua rumus tersebut memberikan hasil yang sama. Pilih bentuk yang paling mudah digunakan.

Jika \(r=1\), semua sukunya sama dengan \(a\), sehingga \(S_n=na\).

Contoh soal 4

Hitung jumlah 6 suku pertama dari deret \(2+6+18+54+\cdots\).

Diketahui:

\(a=2\), \(r=3\), dan \(n=6\).

\[S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\] \[S_6=\frac{2(3^6-1)}{3-1}\] \[S_6=\frac{2(729-1)}{2}\] \[S_6=728\]

Jadi, jumlah 6 suku pertama adalah 728.

6. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret yang mempunyai suku tanpa batas.

\(a+ar+ar^2+ar^3+\cdots\)

Jika rasio memenuhi \(|r|<1\), jumlah deret tak hingga memiliki nilai hingga, yaitu:

\[\boxed{S_\infty=\frac{a}{1-r}}\]

Ingat! Rumus jumlah deret geometri tak hingga hanya berlaku ketika \(-1<r<1\). Untuk rasio di luar interval tersebut, deret tidak mempunyai jumlah hingga dalam pengertian ini.

Contoh soal 5

Tentukan jumlah deret:

\[ 12+6+3+\frac{3}{2}+\cdots \]

Diketahui:

\(a=12\), dan \(r=\frac{6}{12}=\frac12\).

Karena \(|r|<1\), gunakan rumus:

\[S_\infty=\frac{a}{1-r}\] \[S_\infty=\frac{12}{1-\frac12}\] \[S_\infty=\frac{12}{\frac12}\]

Jadi, jumlah deret tak hingga tersebut adalah 24.

7. Perbandingan Aritmetika dan Geometri

Aspek	Aritmetika	Geometri
Pola	Penjumlahan atau pengurangan dengan beda tetap	Perkalian atau pembagian dengan rasio tetap
Besaran tetap	Beda \(b\)	Rasio \(r\)
Suku ke-n	\(a+(n-1)b\)	\(ar^{n-1}\)
Jumlah n suku	\(\frac{n}{2}(a+U_n)\)	\(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), untuk \(r\ne1\)
Contoh	4, 7, 10, 13, ...	4, 12, 36, 108, ...

8. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

A. Kursi di gedung pertunjukan

Baris pertama memiliki 12 kursi. Setiap baris berikutnya memiliki 3 kursi lebih banyak. Jika terdapat 10 baris, berapa jumlah seluruh kursi?

Diketahui \(a=12\), \(b=3\), dan \(n=10\).

\[U_{10}=12+(10-1)3=39\] \[S_{10}=\frac{10}{2}(12+39)\] \[S_{10}=5(51)=255\]

Jumlah seluruh kursi adalah 255.

B. Pertumbuhan bakteri

Sebuah populasi bakteri berjumlah 100 dan menjadi dua kali lipat setiap periode pengamatan. Berapa jumlah bakteri setelah 5 kali pelipatan?

Jika 100 adalah jumlah awal sebelum pelipatan, maka setelah 5 kali pelipatan:

\[N=100(2^5)\] \[N=100(32)\]

Jumlah bakteri menjadi 3.200.

Model ini mengasumsikan pelipatan berlangsung tepat dua kali pada setiap periode.

C. Tabungan dengan setoran bertambah tetap

Seseorang menabung Rp10.000 pada minggu pertama. Setiap minggu, setoran bertambah Rp5.000. Berapa total setoran selama 8 minggu?

Diketahui \(a=10.000\), \(b=5.000\), dan \(n=8\).

\[U_8=10.000+7(5.000)=45.000\] \[S_8=\frac{8}{2}(10.000+45.000)\] \[S_8=4(55.000)\]

Total setoran adalah Rp220.000.

9. Latihan Soal

Kerjakan terlebih dahulu secara mandiri. Klik tombol untuk memeriksa kunci dan pembahasannya.

Soal 1 — Barisan aritmetika

Diketahui barisan \(7,11,15,19,\ldots\). Tentukan suku ke-25.

\(a=7\), \(b=4\), \(n=25\).

\[U_{25}=7+(25-1)4\] \[U_{25}=7+96=\boxed{103}\]

Soal 2 — Deret aritmetika

Hitung jumlah 15 suku pertama dari \(4+7+10+13+\cdots\).

\(a=4\), \(b=3\), \(n=15\).

\[U_{15}=4+14(3)=46\] \[S_{15}=\frac{15}{2}(4+46)\] \[S_{15}=\frac{15}{2}(50)=\boxed{375}\]

Soal 3 — Barisan geometri

Diketahui barisan \(5,15,45,135,\ldots\). Tentukan suku ke-7.

\(a=5\), \(r=3\), \(n=7\).

\[U_7=5(3^{6})\] \[U_7=5(729)=\boxed{3645}\]

Soal 4 — Deret geometri

Hitung jumlah 5 suku pertama dari \(3+6+12+24+\cdots\).

\(a=3\), \(r=2\), \(n=5\).

\[S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}\] \[S_5=3(31)=\boxed{93}\]

Soal 5 — Deret geometri tak hingga

Tentukan jumlah deret \(20+10+5+\frac52+\cdots\).

\(a=20\), \(r=\frac12\). Karena \(|r|<1\), deret mempunyai jumlah hingga.

\[S_\infty=\frac{20}{1-\frac12}\] \[S_\infty=\frac{20}{\frac12}=\boxed{40}\]

Soal 6 — Masalah kontekstual

Sebuah aula memiliki 15 baris kursi. Baris pertama terdiri atas 20 kursi dan setiap baris berikutnya bertambah 2 kursi. Tentukan jumlah seluruh kursi.

\(a=20\), \(b=2\), \(n=15\).

\[U_{15}=20+14(2)=48\] \[S_{15}=\frac{15}{2}(20+48)\] \[S_{15}=\frac{15}{2}(68)=\boxed{510}\]

Jadi, aula memiliki 510 kursi.

Soal 7 — Menentukan beda

Suatu barisan aritmetika mempunyai suku pertama 6 dan suku ke-12 sebesar 39. Tentukan bedanya.

\[U_{12}=a+11b\] \[39=6+11b\] \[33=11b\] \[\boxed{b=3}\]

Soal 8 — Menentukan rasio

Suatu barisan geometri mempunyai suku pertama 4 dan suku ke-5 sebesar 324. Jika rasionya positif, tentukan rasio tersebut.

\[U_5=ar^4\] \[324=4r^4\] \[r^4=81\] Karena rasionya positif, \(\boxed{r=3}\).

Soal 9 — Membedakan pola

Tentukan apakah barisan \(81,27,9,3,\ldots\) termasuk aritmetika atau geometri. Tentukan suku ke-6.

Perbandingan suku berurutan adalah \(\frac13\), sehingga barisan ini merupakan barisan geometri. \[U_6=81\left(\frac13\right)^5\] \[U_6=\frac{81}{243}=\boxed{\frac13}\]

Soal 10 — Aplikasi tabungan

Setoran mingguan seseorang membentuk barisan aritmetika. Setoran minggu pertama Rp15.000 dan minggu ke-10 Rp60.000. Tentukan total setoran selama 10 minggu.

Diketahui \(a=15.000\), \(U_{10}=60.000\), dan \(n=10\). \[S_{10}=\frac{10}{2}(15.000+60.000)\] \[S_{10}=5(75.000)\] \[\boxed{S_{10}=\text{Rp375.000}}\]

10. Refleksi Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, renungkan pertanyaan berikut:

Bagaimana cara membedakan barisan aritmetika dengan barisan geometri?
Mengapa rumus jumlah deret aritmetika melibatkan rata-rata suku pertama dan suku terakhir?
Dalam situasi apa pertumbuhan geometri lebih tepat digunakan daripada pertumbuhan aritmetika?

Kesimpulan: barisan aritmetika ditandai oleh beda tetap, sedangkan barisan geometri ditandai oleh rasio tetap. Rumus suku ke-n membantu menemukan suku tertentu, sementara rumus deret membantu menghitung jumlah sejumlah suku.

Cari Blog Ini

Navigasi Materi