Barisan dan Deret Aritmetika

Sebelum mempelajari barisan dan deret Aritmetika, sebaiknya kita mempelajari tentang pola bilangan terlebih dahulu. Dari materi tersebut dapat kita ketahui bahwa banyak barisan bilangan dengan pola yang berbeda-beda. Di antara pola bilangan tersebut ada yang disebut dengan barisan Aritmetika. Nah, di sesi ini kita akan belajar tentang Barisan Aritmetika. Apa itu Barisan Aritmetika? Perhatikan contoh-contoh berikut:

Dapatkah kamu mengidentifikasi barisan aritmetika tersebut? Kalau kamu menemukan bahwa:
1. bilangan-bilangan tersebut berurutan semakin besar, atau berurutan semakin kecil, dan
2. setiap antar 2 bilangan terdekat yang berurutan memiliki selisih atau beda yang sama.

Dapatkah kamu memberi contoh barisan bilangan yang bukan barisan aritmetika. Berikut saya berikan contohnya.

Dapatkah kamu menemukan alasannya mengapa barisan di atas bukan barisan aritmetika? Tentunya karena ada syarat barisan aritmetika yang tidak terpenuhi. 
Pada barisan aritmetika kita dapat menemukan rumus suku ke-n yaitu rumus untuk mengetahui bilangan apa yang terletak pada urutan tertentu. Contohnya pada barisan aritmetika berikut:

Pada barisan di atas bedanya adalah 2 dan rumus suku ke-n adalah 2n+1, sehingga tanpa mengurutkan bilangan-bilangannya sampai urutan ke-100 terlebih dahulu, kita dapat mengetahui bilangan yang berada pada urutan ke-100 menggunakan rumus tersebut yaitu bilangan 201.

Pada barisan di atas selisihnya 5 dan rumus suku ke-n adalah 5n-3, sehingga tanpa mengurutkan bilangan-bilangannya sampai urutan ke-100 terlebih dahulu, kita dapat mengetahui bilangan yang berada pada urutan ke-100 menggunakan rumus tersebut yaitu bilangan 497.

Bagaimana kita dapat mengetahui rumus barisan aritmetika dengan mudah. Perhatikan hubungan antara selisih antar 2 bilangan yang berdekatan atau bedanya dengan rumus suku ke-n. 
Ketika bedanya 2 maka rumusnya 2n + 1. Sedangkan ketika bedanya 5 rumusnya 5n-3. Lalu bagaimana menentukan konstanta yang ada pada rumus tersebut? Kita perlu uji coba dulu pada bila pertama dengan menggunakan n=1. Jadi jika suku pertama 3 untuk rumus 2n harus ditambah 1, sedangka jika suku pertamanya 2 untuk rumus 5n harus dikurang 3.
Coba kita uji lagi untuk barisan yang lainnya. Contohnya pada barisan berikut:
Pada contoh di atas bedangan adalah -3 sehingga rumusnya -3n. Konstantanya didapat dengan uji coba untuk bilangan pertama dengan n=1. Bilangan pertamanya aalah 12 sama dengan -3n ditambah 15. Sehingga rumusnya -3n+15. Setelah rumusnya kita temukan, kita dapat menentuka bilangan-bilangan lainnya. Bilangan yang berada pada urutan ke-100 kita gunakan n=100 sehingga didapat -285. 
Untuk lebih mantap lagi, yuk perhatikan contoh berikut:
Pda contoh di atas bedanya -2 sehingga rumusnya -2n, karena suku pertama 14 maka untuk n=1 rumus  -2n harus ditambah 14 sehingga rumusnya menjadi -2n+16. 

Mari sekarang kita menemukan rumusnya secara sistematis. Ingat bahwa barisan aritmetika barisan yang urutannya konsisten dari kecil ke besar atau dari besar ke kecil dengan beda atau selisihnya sama.
Jika bilangan pertama adalah a bilangan berikutnya adalah a+b, kemudian a+b+b, kemudian a+b+b+b, kemudian a+b+b+b+b dan seterusnya.

Berikut contoh soal bagaimana menemukan suku ke-n pada suatu barisan aritmetika.
Soal yang sama juga dapat dikerjakan dengan cara berikut:
Berikut adalah contoh soal jika yang ditanya adalah suku pertamanya.
Berikut cara untuk menemukan beda dari suatu barisan aritmetika
Berikut cara menemukan suku yang ke berapakah suatu bilangan berada pada barisan aritmetika. 
Kita juga dapat mengetahui jumlah bilangan-bilangan berurutan yang berada pada barisan aritmetika. Barisan bilangan-bilangan yang dijumlahkan itu kita sebut deret aritmetika. Berikut penjelasannya:
Untuk menemukan rumusnya kita analogikan dulu untuk deret aritmetika yang sederhana. Contohnya sebagai berikut:
Jumlah 5 suku pertama pada barisan aritmetika 1, 2, 3, 4, 5, ... adalah 1+2+3+4+5.
Kita juga dapat menulisnya 5+4+3+2+1. Jika terdapat 5 suku yang setiap sukunya jika dijumlahkan maka hasilnya sama dengan 6 atau sama dengan bilangan pertama ditambah bilangan ke-5. Jadi jumlah seluruhnya 30. Jadi jumlah satu deretnya adalah 30 : 2 =15

Coba kita analogikan untuk barisan bilangan yang lain, misalnya sebagai berikut:

Contoh di atas adalah jumlah 6 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, 10, .... Jadi yang dimaksud adalah 2+4+6+8+10+12. Jika susunannya dibalik kemudian kita jumlahkan maka terdapat 6 suku yang setiap suku mempunyai nilai yang sama dengan jumlah bilangan pertama dan ke-6  yaitu 2+12=14
Sehingga jumlah 2 deret  tersebut adalah 84. Maka jumlah satu deret aritemtiuka terebut adalah 84 :2=42. 

Kita coba lagi analogikan untuk deret aritmetika yang lainnya.

Contoh di atas kita jumlahkan 6 suku pertama dari barisan 3, 8, 13, 18, 23, 28. Dapat ditulis 3+8+13+18+23+28 atau 28+23+18+13+8+3. Jika kedua deret dijumlahkan didapat 6 kali 31. Yaitu 6 suku dimana setiap sukunya 31 = 3+28 yaitu bilangan pertama ditambah bilangan ke-6. Karena jumlah 2 deret tersebut 186 maka jumah 1 deret adalah 186 : 2 = 93.

Apakah analogi tersebut dapat digunakan untuk barisan aritmetika yang bedanya negatif? Mari kita coba untuk contoh berikut:

Barisan aritmetika tersebut adalah 7, 4, 1, -2,  -5, -8, -11, ... Jumlah 7 suku yang pertama adalah deret 7+4+1-2-5-8-11 atau dapat ditulis -11-8-5-2+1+4+7. Jumlah 2 deret tersebut adalah 7 kali (7-11).
Sehingga rumus 1 deret adalah (7 x (7-11)) dibagi 2 = -14

Dari beberapa analogi untuk hasil penjumlahan n suku pertama pada deret aritmetika, yuk kita cari rumusnya.
Barisan aritmetika: a, a+b, a+2b, a+3b, ... Un. Ingat  Un=a+(n-1)b. Kalau kita analogikan dengan contoh-contoh sebelumnya maka jumlah 2 deret yang sama adalah n dikali (a + Un). Sehingga rumus satu deretnya adalah n(a+Un):2.
Untuk lebih jelas perhatikan penjelasan berikut:


Mari kita aplikasikan rumus tersebut untuk soal berikut:
Soal di atas kita kerjakan dengan menentukan dulu bilangan terakhirnya. Soal yang sama dapat pula kita kerjakan langsung menggunakan rumus sebagai berikut:
Berikut ini adalah contoh soal pada deret Aritmetika untuk menentukan bedanya.

Berikut contoh soal untuk menemukan bilangan pertama pada deret Aritmetika:
Kita juga dapat mengetahui berapa banyak bilangan pada deret Aritmetika yang diketahui hasil penjumlahan bilangan-bialngan yang ada pada deret tersebut. Contohnya sebagai berikut:

Untuk mengetahui nilai n, kita perlu belajar dulu persamaan kuadrat yang ada pada web-site ini. Silakan klik Persamaan kuadrat.