Transformasi

Transformasi adalah perubahan koordinat titik-titik pada suatu bidang sehingga bidang tersebut mengalami perubahan posisi atau ukuran. Perubahan koordinat tersebut melalui proses translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dilatasi(perbesaran), dan rotasi(perputaran)

Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah perubahan geometris suatu bidang akibat pergeseran. Ilustrasinya sebagai berikut:

Kupu-kupu di atas bergeser ke kanan dan ke atas. Bentuknya tetap, hanya lokasinya yang berubah. 

Rumus untuk menentukan pergeserannya ke kanan atau ke kiri dan ke atas atau ke bawah adalah sebagai berikut:

Jika nilai a positif maka koordinat-x ke kanan dan sebaliknya jika bernilai negatif maka koordinat-x ke kiri. Jika nilai b positif maka koordinat-y ke atas dan sebaliknya jika bernilai negatif maka koordinat-y ke bawah. 

Contoh penerapannya sebagai berikut:

Pada contoh di atas koordinatnya ke kiri 2 satuan dan ke bawah 3 satuan karena baik nilai a maupun nilai b keduanya negatif. Hasil translasi di atas menghasilkan pergeseran bidang sebagai berikut:

Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan adalah transformasi geometris yang membuat jarak titik-titik pada suatu bidang terhadap sebuah garis atau titik acuan sama dengan jarak bayangannya ke garis atau titik acuan tersebut. Ilustrasinya sebagai berikut:

Jarak titik A ke garis acuan yang menjadi cermin ssama dengan jarak titik bayangannya, A' ke garis acuan. Begitu juga juga jarak titik B ke garis acuan sama dengan jarak B' ke garis acuan dan hal ini berlaku untuk semua titik-titik yang berada pada kupu-kupu. Bayangan yang dihasilkannya menjadi kupu-kupu berbalik arah atau berlawanan. Ukurannya tetap dan simetris. Garis acuan yang menjadi cermin disebut sumbu simetri.

Ada beberapa rumus yang dapat diterapkan pada pencerminan. Untuk cermin yang berbeda menghasilkan rumus yang berbeda pula. 

Pencerminan terhadap sumbu-x

Pencerminan terhadap sumbu-x atau nama lainnya garis y=0 menggunakan rumus sebagai berikut:

Perhatikan, jarak titik C ke sumbu-x sama dengan jarak bayangannya yaitu C' ke sumbu-x. Begitu juga jarak titik D ke sumbu-x sama dengan jarak bayangannya yaitu D' ke sumbu-x.

Contoh penerapannya sebagai berikut:

Pada pencerminan terhadap sumbu-x, koordinat-x tetap, tetapi koordinat-y berlawanan tanda.

Hasil perubahan bidangnya sebagai berikut:

Bidang asal dan bayangannya simetris dan sumbu-x sebagai sumbu simetrinya.

Pencerminan terhadap sumbu-y

Pada proses ini sumbu-y sebagai cermin, maka jarak titik-titik ke sumbu-y sama dengan jarak titik-titik bayangannya ke sumbu-y.

Perhatikan proses dan rumus yang didapatkan.

Ternyata rumus yang didapatkan koordinat-x bayangan berlawanan dengan koordinat-x titik asal, sedangkan koordinat bayangannya sama.

Berikut contoh penerapannya:

Perhatikan bentuk bayangan yang dihasilkannya.

Ukurannya sama tetapi berlawanan arah dan simetris terhadap sumbu-y. 

Pencerminan terhadap garis x=a

Selain dicerminkan terhadap sumbu-y, setiap titik dapat dicerminkan terhadap garis x=a, yaitu garis yang sejajar sumbu-y dan memiliki koordinat-x atau absisnya sama dengan a.

Perhatikan jarak titik D(5, 1) ke garis x=3 adalah (3-5). Maka jarak D ke Di adalah 2 kalinya yaitu 2(3-5)=-4. Sehingga koordinat-x atau absis bayangannya adalah 5-4=1.

Kalau kita buat rumus umumnya dengan cara sebagai berikut:

Karena garis x=a sebagai cerminnya, maka jarak titik C ke garis x=a sama dengan jarak titik C' ke garis x=a. Karena jarak garis x=a ke titik C=(x, y) adalah (a-x) maka jarak C ke C' adalah 2 kalinya atau 2(a-x). Dengan demikian koordinat-x bayangannya adalah x+2(a-x)=2a-x. Sedangkan koordinat-y bayangannya tetap karenan berada pada satu garis horizontal. 

Contoh penerapannya adalah sebagai berikut:

Hasilnya bidangnya adlah sebagai berikut:

Hasilnya ABC simetris dengan A'B'C' terhadap garis x=a

Pencerminan terhadap garis y=b

Garis y=b adalah garis yang sejajar dengan sumbu-x dan melalui titik-titik yang koordinat-y atau ordinatnya sama dengan b. Titik-titik yang dicerminkan terhadap garis y=b, jaraknya ke garis y=b sama dengan jarak bayangannya ke garis y=b.

Pada contoh di atas, jarak titik C(-4, 8) ke garis y=4 adalah (4-8) maka jarak C ke C' adalah 2 kalinya yaitu 2(4-8). Maka koordinat-y atau ordinat bayangannya adalah 8+2(4-8)=0. 

Kalau kita buat rumus umumnya, jarak titik C(x, y) ke garis y=b adalah b-y. Jarak C ke C' adalah 2(b-y), sehingga ordinat bayangannya adalah y+2(b-y)=2b-y. Perhatikan koordinat-x atau absisnya tetap karena berada pada satu garis vertikal, sehingga koordinat bayangannya adalah (x, 2b-y).

Penerapannya adalah sebagai berikut:

Bidang asal dan bayangannya dapat dilihat pada gambar berikut:

Dapat dilihat bidang ABC simetris dengan A'B'C' terhadap garis y=-1.

Pencerminan terhadap titik O(0, 0)

Selain terhadap sebuah garis atau sumbu, sebuah bidang juga dapat dicerminkan terhadap titik. Yang paling sederhana kita pelajari dulu pencerminan terhadap titik O(0, 0)

Pada contoh di atas Jarak titik D ke titik pusat O sama dengan jarak bayangannya yaitu D' ke titik O. Ternyata titik koordinat bayanganya selalu berlawanan tanda dengan tititk koordinat asalnya.

Contoh penerapannya sebagai berikut:

Perhatikan hasil bayangannya tidak simetris terhadap sebuah garis. 

Pencerminan terhadap titik P(a, b)

Selain terhadap titik pusat, sebuah bidang juga dapat dicerminkan terhadap titik lain misalnya titik P(a, b). Perhatikan diagram berikut:

Pada contoh di atas posisi C dan C' tidak horizontal maupun vertikal, melainkan miring. Dengan demikian kedua kordinatnya berubah. Jarak horizontal titik C=(6,2) ke titik P(2, -4) adalah 2-6 sedangkan jarak vertikalnya adalah -4-2. Jarak C ke bayangannya 2 kalinya, sehingga jarak horizontal C ke C' adalah 2(2-6) dan jarak vertikalnya adalah 2(-4, -2). Dengan demikian koordinat bayangannya adalah (6+2(2-6), 2+2(-4-2))

Secara umum kita dapatkan rumus:

Jarak horizontal (x, y) ke titik P(a, b) adalah a-x, sedangkan jarak vertikal (x, y) ke P(a, b) adalah (b-y).

Jarak horizontal C ke C' adalah 2(a-x) sedangkan jarak vertikal (x, y) ke P(a, b) adalah 2(b-y). Sehingga koordinat bayangannya adalah (x+(2(a-x), y+2(b-y)), jika disederhanakan menjadi (2a-x, 2b-y).

Penerapannya adalah sebagai berikut:

Hasil bayangan sebuah bidang yang dicerminkan terhadap titik P(a, b) adalah sebagai berikut:

Pencerminan terhadap garis y=x

Sebelumnya kita perlu tahu dulu bagaimana membuat persamaan garis lurus yang dapat dipelajari di materi persamaan linear. Sekarang kita akan belajar mencerminkan titik-titik pada sebuah bidang terhadap garis y=x. Hasilnya adalah sebagai berikut:

Pada diagram di atas dapat dilihat bayangan titimk A=(-4, 10) adalah A'=(10, -4), bayangan titik B(-4, 2) adalah (2, -4). Kita perhatikan setiap titik yang dicerminkan oleh garis y=x, bayangannya selalu memiliki koordinat yang berkebalikan dengan koordinat titik asal.

Contoh penerapannya adalah sebagai berikut:

Perhatikan hasil bayangannya simetris terhadap garis y=x.

Pencerminan terhadap garis y=-x

Seperti pencerminan terhadap garis y=x, kita perlu mengingat kembali pelajaran persamaan garis lurus untuk dapat memahami bentuknya. 

Titik-titik yang dicerminkan terhadap garis y=-x memiliki jarak yang sama dengan jarak bayangannya terhadap garis y=-x. Perhatikan diagram berikut:

Perhatikan koordinat titik A(-4, 10) bayanganya A'(-10, 4), titik B(2, -6) bayangannya di B'(2, -6). ternyata bayangannya adalah kebalikan dan juga berlawanan tanda dengan titik asalnya atau ditulis (-y, -x). Penerapannya adalah sebagai berikut:

Berikut adalah bidang hasil pencerminan terhadap garis y=-x. Kedua bidang simetris dengan garis y=-x sebagai sumbu simetrinya.

Berikut, kita resume rumus-rumus pencerminan yang sudah kita dapatkan.

Dilatasi (perbesaran)

Dilatasi adalah transformasi geometris yang membuat titik-titik pada sebuah bidang berubah sehingga bidang yang terbentuk memiliki bentuk yang sama, namun ukurannya berbeda, dapat lebih besar atau lebih kecil sesuai dengan faktor skalanya. Ilustrasinya sebagai berikut:

Dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0)

Mari, kita temukan rumusnya. Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas dapat kita lihat, jarak OB' adalah 2 kali jarak OB, ini berarti jarak OB' merupakan perbesaran jarak OB dengan faktor skala 2. Koordinatnya baik absis maupun ordinat bayangannya B'(6, 4) nilainya 2 kali dari koordinat titik asal B(3, 2)

Panjang OC' adalah setengah dari panjang OC, di sini faktor skalanya adalah setengah. Koordinat titik C'(-2, 2) juga setengah dari koordinat titik C(-4, 4).

Sedangkan panjang OD' sama dengan 2 kali panjang OD tetapi berlawanan arah terhadap titik acuan O(0,0). Faktor sklanya di sini adalah -2. Koordinat titik asal D(3, 1) bayangannya di titik D'(=6, -2). Dari analisis ini dapat kita simpulkan titik (x, y) ayang didilatasikan dengan faktor skala k, bayangannya memiliki koordinat (kx, ky).

Penerapannya sebagai berikut:

Berikut contoh hasil dilatasi dengan perbesaran atau faktor skala lebih dari satu. Segitiga bewarna coklat adalah bangun asalnya, bayangannya adalah segitiga yang berwarna biru.

Berikut adalah contoh perbesaran dengan faktor skala kurang dari 1, bayanganya lebih kecil dari bangun asalnya. Segitiga asalnya yang berwarna coklat, sedangkan bayangannya adalah bangun yang lebih kecil yaitu segitiga yang berwarna biru.

Berikut adalah bayangan hasil dilatasi dengan faktor skala negatif lebih dari |-1|. Hasilnya merupakan perbesaran namun arahnya berlawanan terhadap titik acuan O(0, 0)

Dilatasi terhadap titik P(a, b)

Sekarang kita geser titik pusatnya dari O(0, 0) ke titik P(a, b). Perhatikan diagram berikut!

Jarak koordinat C(-4, 4) ke titik acuan (-3, 1) adalah (=4-(-3), 4-1). Karena  didilatasikan 2 kali maka jaraknya terhadap titik acuan adalah (2(-4-(-3), 2(4-1)). Kalau dihitung dari titik acuan P(-3, 1) maka koordinat bayangannya adalah (-3+2(-4-(-3)), 1+2(4-1))= (-5, 7).

Dengan rumus umum: jika koordinat (x, y) didilatasikan dengan faktor skala k terhadap titik P(a, b) maka jarak bayangannya ke titik acuan P adalah (k(a-x), k(b-y)), karena dihitung mulai dari titik acuan P(a, b), maka koordinatnya adalah (a+k(a-x), b+k(b-y)).

Penerapannya adalah sebagai berikut:

Berikut gambar segitiga berwarna coklat dengan hasil perbesarannya yaitu segitiga berwarna biru, dengan titk acuan di P(-4, 2)

Berikut resume dari dilatasi.

Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah perpindahan titik-titik dengan arah melingkar berlawanan arah jarum jam terhadap titik acuan dan membentuk sudut α. 

Rotasi 90 derajat terhadap titik O(0, 0)

Titik (x, y) berpindah dengan arah putaran 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0, 0) .Ilustrasinya sebagai berikut:

Kupu-kupu ABC diputar terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 90 derajat, hasilnya adalah A'B'C'. Perhatikan sudut positif arahnya berlawanan dengan arah jarum jam. Posisi ini juga dapat dianggap perputaran dengan arah -270 derajat, yaitu sudut 270 derajat searah dengan arah jarum jam.

Kita perhatikan, tiitk B(8, 4) bayangannya di B'(-4, 8), titik C(2, 8) bayangannya di C'(-8, 2), dan titik D(3, 3) bayangannya di D'(-3, 3). Sehingga rumus umumnya:

Titik (x, y) dirotasikan sejauh 90 derajat terhadap titik pusat O(0, 0) adalah (-y, x).

Penerapannya sebagai berikut:

Rotasi 90 derajat terhadap titik P(a, b)

Titik (x, y) berpindah dengan arah putaran 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik P(a, b).

Perhatikan diagram berikut:

Titik A(3, 2) diputar 90 derajat terhadap titik D(2, 1). Jarak horizontal A'D sama dengan jarak vertikal AD tetapi berlawanan arah yaitu -(2-1), sedangkan jarak vertikal A'D sama dengan jarak horizontal AD yaitu (3-2). Sehingga jaraknya (-(2-1), (3-2)). Karena dihitung dari titik acuan D(2, 1) maka koordinat bayangannya adalah (2-(2-1), 1+(3-2))=(1, 2)

Rumus umumnya: Titik A(x, y) diputar terhadap titik acuan P(a, b), jarak horizontal A'P sama dengan jarak vertikal AP tetapi berlawanan arah yaitu -(y-b), sedangkan jarak verrtikal A'P sama dengan jarak horizontal AP yaitu x-a. Jika dihitung mulai dari titik acuan P(a, b) maka koordinat bayangannya adalah A'(a-(y-b), b+(x-a)). Penerapannya sebagai berikut:

Rumus ini juga berlaku perputaran sebesar -270 derajat terhadap titik P(a, b), yaitu perputaran 270 derajat searah jarum jam. 

Rotasi 180 derajat terhadap titik O(0, 0)

Titik (x, y) berpindah dengan arah putaran 180 derajat terhadap titik pusat O(0, 0) .Ilustrasinya sebagai berikut:

Kupu-kupu ABC diputar terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 180 derajat, hasilnya adalah A’₁B’₁C’₁. Pada putaran sudut 180 derajat maupun -180 derajat, bayangan berada pada posisi yang sama. 

Jarak bayangan horizontal OA' sama dengan jarak horizontal OA tetapi berlawanan arah, demikian juga jarak vertikal OA' sama dengan jarak vertikal OA' sehingga koordinat bayangannya (-x, -y).

Penerapannya sebagai berikut:

Rotasi 180 derajat terhadap titik P(a, b)

Titik A berputar sebesar 180 derajat terhadap titik P(a, b). Perhatikan diagram berikut!

Titik A(2,2) diputar 180 derajat terhadap titik D(2, 1). Jarak horizontal A'P sama dengan jarak horizontal AP tetapi berlawanan arah yaitu -(2-2), demikian juga jarak vertikal A'P sama dengan jarak vertikal AP tetapi berlawanan arah yaitu -(2-1). Karena dihitung dari titik acuan D(2, 1) maka bayangannya adalah: (2-(2-2), 1-(2-1))=(2, 0).

Rumus umumnya: Titik A(x, y) dirotasikan 180 derjat terhadap titik P(a, b), maka jarak  horizontal A'P sama dengan jarak horizontal AP tetapi berlawanan arah yaitu -(x-a). Jarak vertikal A'P sama dengan jarak vertikal AP tetapi berlawanan arah yaitu -(y-b). Koordinat bayangan dihitung dari titik acuan maka koordinatnya adalah (a-(x-a), b-(y-b)).

Contoh penerapannya adalah sebagai berikut:

Rotasi 270 derajat terhadap titik O(0, 0)

Titik (x, y) berpindah dengan arah putaran 270 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0, 0). Posisi ini sama dengan puataran -90 derajat atau 90 derajat searah jarum jam. .Ilustrasinya sebagai berikut:

Perhatikan diagram berikut!

Titik A(-1,5) dirotasikan 270 derajat terhadap titik pusat (0, 0) jarak horizontal A'O sama dengan jarak vertikal AO yaitu 5, jarak vertikal A'O sama dengan jarak horizontal AO tetapi berlawanan arah yaitu -(-1)=1. Sehingga koordinatnya (5, 1)

Rumus umumnya dicari dengan cara berikut: Titik A(x, y) dirotasikan 270 derajat terhadap titik O(0,0) maka jarak horizontal A'O sama dengan jarak vertikal AO yaitu y, jarak vertikal A'O sama dengan jarak horizontal AO tetapi berlawanan arah yaitu -x. Sehingga koordinat bayangannya adalah A'(y, -x)

Contoh penerapannya sebagai berikut:

Rotasi 270 derajat terhadap titik P(a, b)

Titik A berputar sebesar 270 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik P(a, b). Posisi tersebut sama dengan perputaran sebesar -90 derajat yaitu 90 derajat searah jarum jam. Perhatikan diagram berikut!

itik A(-1,5) dirotasikan 270 derajat terhadap titik D (1, 2) jarak horizontal A'D sama dengan jarak vertikal AD yaitu (5-2), jarak vertikal A'O sama dengan jarak horizontal AO tetapi berlawanan arah yaitu -(-1-1)=2. Koordinat dihitung dati titik acuan D(1,2), sehingga koordinatnya (1+(5-2), 2-(-1-1))=(4, 4)

Rumus umumnya dicari dengan cara berikut: Titik A(x, y) dirotasikan 270 derajat terhadap titik P(a,b) maka jarak horizontal A'D sama dengan jarak vertikal AD yaitu y-b, jarak vertikal A'O sama dengan jarak horizontal AO tetapi berlawanan arah yaitu -(x-a). Koordinat bayangan dihitung mulai dari titik acuan P(a, b). Maka koordinat bayangannya adalah A'(a+(y-b), b-(x-a))

Contoh penerapannya sebagai berikut:

Resume dari rotasi sebagai berikut:

Berikut contoh soalnya: