Sebelum mempelajari bilangan pecahan, kita perlu tahu terlebih dahulu apa itu bilangan bulat.
Perhatikan gambar berikut!
Pada gambar di samping dan gambar-gambar selanjutnya, banyaknya pizza ada 2 porsi, 4 porsi, dan 5 porsi. Bilangan 2, 4, dan 5 menunjukkan jumlah yang utuh atau bulat dan disebut bilangan bulat. Dalam kehidupan sehari-hari terdapat jumlah benda-benda tertentu yang selalu utuh atau bulat, contoh banyaknya orang, banyaknya kapal, banyaknya anjing, dsb. Kita tidak mungkin mengatakan: "Terdapat dua setengah orang", "Ada tujuh sepertiga buah kapal", atau "Ada lima dua per tiga anjing".
Tetapi kita masih bisa mengatakan: "Dua setengah porsi pizza", "Jaraknya lima, dua per tiga kilo meter", "Tingginya satu, tiga per empat meter", dsb.
Bilangan 2 1/2, 5 2/3, dan 1 3/4 disebut bilangan pecahan, tepatnya pecahan campuran. Ada pula pecahan murni yang akan kita pelajari kali ini.
Bilangan pecahan terdiri dari 2 angka yang disebut pembilang dan penyebut.
Jika nilai pembilang kurang dari penyebut maka pecahan tersebut bernilai kurang dari 1. Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut!
Sebaliknya jika pembilangnya lebih dari penyebut, maka pecahan tersebut bernilai lebih dari satu dan dapat dibentuk menjadi bilangan pecahan campuran.
Untuk memahami lebih dalam apa yang dimaksud dengan kurang dari satu perhatikan contoh-contoh bilangan pecahan berikut!
Pada gambar di atas, 1 porsi pizza dibagi menjadi 2 sama besar, sehingga setiap bagian memiliki nilai 1/2. Sedangka jika 1 porsi pizza dibagi menjadi empat bagian yang sama besar, maka masing-masing bagian memiliki nilai 1/4.
Sekarang jika 1 porsi pizza tersebut dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar, maka masing-masing bagian memiliki nilai 1/8.
Demikian pula jika 1 porsi dibagi menjadi 16 sama besar, maka setiap bagiannya memiliki nilai 1/16
Kalau kita perhatikan 1/2, 1/4, 1/8, dan 1/16 merupakan nilai yang kurang dari 1 porsi. Ukurannya lebih kecil daripada ukuran yang 1 porsi utuh atau bulat.
Kita perhatikan 1/2, 1/4, 1/8, maupun 1/16 disebut bilangan pecahan murni, semuanya memiliki ukuran kurang dari 1. Dari ukurannya terlihat 1/2 lebih besar dari 1/4, 1/4 lebih besar dari 1/8, 1/8 lebih besar dari 1/16. Di antara keempatnya nilai yang paling besar adalah 1/2, sedangkan nilai yang paling kecil adalah 1/16. Jadi jika beberapa bilangan pecahan memiliki pembilang sama, maka pecahan yang paling besar adalah pecahan yang penyebutnya paling kecil. Sebaliknya pecahan yang paling kecil adalah pecahan yang penyebutnya paling besar.
Pecahan Senilai
Sekarang kita akan mengambil setengah porsi pizza dengan berbagai cara memotongnya menjadi beberapa bagian. Mula-mula 1 porsi pizza kita bagi menjadi 2 bagian.
Kita dapat juga memotongnya menjadi 4 bagian, kemudian kita mengambil 2 bagian yang sama besar yaitu 1/4 dan 1/4 sehingga nilainya menjadi 2/4
Selain itu, kita dapat membaginya menjadi 8 bagian yang sama besar, kemudian kita mengambilnya 4 bagian yang sama besar. Sehinga 1/8+1/8+1/8+1/8 menjadi 4/8 bagian.
Bahkan kita dapat memotongnya menjadi 16 bagian yang sma besar, kemudian kita mengambil 8 bagian sehingga nilainya menjadi 1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16 atau 8 kali 1/16 sehingga nilainya menjadi 8/16.
Sekarang kita dapat melihat ada berbagai cara untuk membuat pizza itu memiliki ukuran yang sama yaitu 1/2.
Kita dapat melihat potongan pizza yang memiliki nilai 1/2, 1/4, 4/8, 8/16 memiliki ukuran yang sama. Bilangan-bilangan itu dikatakan bilangan pecahan yang senilai.
Kita tidak harus menggambar terlebih dahulu atau bahkan mempraktikkannya untuk mengetahui apakah dua buah bilangan pecahan senilai atau tidak senilai.
Perhatikan gambar berikut!
Untuk menentukan bilangan yang senilai dengan 1/2, kita dapat mengalikan masing-masing pembilang maupun penyebut dengan 2 sehingga didapat 2/4. Dapat pula kita mengalikan pembilang dan penyebut dari 1/2 dengan bilangan yang sama yaitu 4 sehingga didpat 4/8. Atau kita mengalikan pembilang dan penyebut dari 1/2 dengan 8 sehingga didapat 8/16.
Dapat pula kita mencari nilai yang senilai dengan cara bertahap. Mula-mula masing-masing pembilang dan penyebut dari 1/2 kita kalikan dengan 2 sehingga didapat 2/4. Kemudian untuk mendapat bilangan pecahan lainnya, masing-masing pembilang dan penyebut dari 2/4 kita kalikan dengan 2 sehingga didapat 4/8. Boleh kita teruskan untuk mendapat bilangan pecahan yang senilai lainnya dari 4/8, masing-masing pembilang dan penyebutnya kita kalikan dengan 2 sehingga didapat 8/16 dan seterusnya.
Kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan bulat apapun kecuali 0 dan 1 untuk menghasilkan bilangan pecahan yang senilai. Sehingga dari suatu bilangan pecahan, kita dapat menemukan sangat banyak bahkan tak hingga banyaknya bilangan pecahan yang senilai.
Tetapi hati-hati, kita tidak boleh mengalikan dengan 0 karena hasilnya menjadi 0. Begitu juga, kita tidak boleh mengalikan dengan 1 karena hasilnya menjadi bilangan pecahan yang sama, bukan bilangan pecahan yang senilai seperti yang kita harapkan.
Contoh menentukan bilangan pecahan yang senilai.
Untuk menemukan bilangan pecahan yang senilai dengan 4/7 sangat banyak. Tapi yang penyebutnya 35 hanya ada satu pecahan. Kalau kita perhatikan penyebutnya 7 menjadi 35 adlah hasil dari 7 dikali 5, maka pembilangnya yaitu 4 juga harus dikali 5, sehingga hasilnya 20. Maka pecahan yang senilai dengan 4/7 adalah 20/35.
Perhatikan juga contoh berikut!
Dari bilangan 3/11 dapat kita temukan banyak seklai bilangan yang senilai. Tetapi hanya 1 bilangan yang penyebutnya 27. Kita perhatikan bilangan 3 menjadi 27 merupakan hasil dari 3 dikali 9, maka penyebutnya 11 juga harus dikali 9 yaitu 99. Maka didapat 3/11 senilai dengan 27/99
Menyederhanakan Pecahan
Menyederhanakan pecahan adalah menentukan bilangan pecahan lainnya yang senilai, namun angkanya lebih kecil.
Untuk mendapatkan bilangan pecahan yang lebih sederhana, kiat membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan bulat yang sama, tetapi bukan 1 dan 0. Yang harus diperhatikan bahwa bilangan bulat tersebut harus merupakan faktor (dapat habis dibagi) dari pembilang maupun penyebut.
Pada contoh di atas 8/16, pembilang maupun penyebut sama-sama habis dibagi 8 sehingga menghasilkan 1/2, begitu juga 4/8 pembilang dan penyebutnya sama-sama habis dibagi 4 sehingga menghasilkan bilangan pecahan 1/2. Bilangan pecahan 2/4 pembilang dan penyebutnya sama-sama habis dibagi 2 sehingga menghasilkan 1/2. Bilangan pecahan 1/2 sudah tidak dapat dikecilkan lagi, maka 1/2 merupakan bentuk paling sederhana dari pecahan-pecahan lainnya yang senilai dengan 1/2.
Hanya ada satu bentuk pecahan paling sederhana dari bilangan-bilangan pecahan yang senilai.
Cara lain untuk menentukan bentuk paling sederhana dari suatu pecahan adalah dengan cara bertahap. Misalnya 8/16, pembilang dan penyebutnya sama-sama habis dibagi dengan 2 sehingga menghasilkan 4/8. Kemudian 4/8 pembilang dan penyebutnya sama-sama habis dibagi dengan 2 sehingga menghasilkan 2/4. Kita lanjutkan lagi 2/4 pembilang dan penyebutnya sama-sama habis dibagi dengan 2 sehingga menghasilkan 1/2. Bilangan pecahan 1/2 menjadi bilangan pecahan yang paling sederhana karena sudah tidak bisa dibagi dengan pembagi yang sama.
Kita dapat menemukan bentuk sederhana dari suatu pecahan dengan cara langsung atau bertahap, yang penting kita tahu bilangan yang kita pilih sebagai pembagi haruslah faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut.
Pada contoh di atas bilangan 18/28 sama-sama habis dibagi 2 sehingga menghasilkan 9/14. Bilangan pecahan 9/14 adalah bentuk yang paling sederhana karena kita tidak menemukan satu bilangan pun yang dapat menjadi faktor persekutuan dari 9 dan 14.
Dari analisis kita sebelumnya, maka dapat disimpulkan jika a/b merupakan suatu pecahan maka untuk mendpatkan bentuk yang paling sederhana adalah dengan membagi a maupun b dengan satu bilangan c dengan memperhatiakn bahwa c merupakan faktor persekutuan terbesar dari a maupun b.
Perhatikan contoh berikut!
Bilangan 30/36 dapat dibentuk menjadi bentuk sederhana dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan 2 sehingga menghasilkan 15/18. Namun 15/18 bukanlah yang bilangan pecahan yang paling sederhana karena 15 dan 18 masih dapat habis dibagi dengan bilangan yang sama yaitu 3 sehingga menghasilkan 5/6. Kita perhatikan tidak ada lagi bilangan lain yang membuat 5 dan 6 habis dibagi sehingga 5/6 merupakan bentuk yang paling sederhana dari 15/18 maupun 30/36.
Jika kita mengetahui faktor persekutuan terbesar dari pembilang maupun penyebutnya, kita akan lebih cepat mendapatkan bentuk yang paling sederhana. Contohnya bilangan 30/36. Faktor persekutuan terbesar dari 30 dan 36 adalah 6 karena hanya 6 bilangan terbesar yang membuat 30 dan 36 habis dibagi. hasilnya adalah 5/6. Maka 5/6 merupakan bentuk paling sederhana dari 30/36.
Supaya kita lebih lancar, mari kita berlatih bilangan pecahan.
Latihan Bilangan Pecahan senilai dan menyederhanakan pecahan