1) Himpunan
2) Pecahan
3) Data dan diagram
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dihadapkan dengan pilihan-pilihan. Hal ini terjadi karena banyaknya varian yang ada di sekitar kita, misalnya baju yang beraneka warna, makanan dari berbagai jenis, berbagai profesi dan keahlian, berbagai produk elektronik, dan sebagainya. Tentu kita tidak ingin salah pilih. Untuk memprediksi pilihan yang tepat, kita dapat belajar dari teori Peluang.
A. Pengertian Peluang
Coba perhatikan gambar di bawah ini!
Tetapi di antara 2 kemungkinan itu, kemungkinan yang lebih besar terpilih adalah anak yang berbaju warna merah karena jumlahnya lebih banyak daripada anak yang berbaju warna kuning.
Nah, jika komposisinya seperti pada gambar di samping ini kemungkinan yang terpilih anak remaja berbaju warna merah juga lebih besar daripada terpilihnya anak remaja yang berbaju warna kuning. Namun dengan berkurangnya jumlah anak yang mengenakan baju merah maka peluangnya juga semakin berkurang.
Di sinilah peran makna dari probabilitas, yaitu suatu nilai untuk menentukan seberapa besar peluang suatu kejadian itu terjadi.
Ketika semua anak berbaju warna merah maka peluang atau probabilitasnya adalah 100% atau 1 yang berarti merupakan suatu kepastian.
Tetapi ketika jumlah anak yang berbaju warna merah berkurang menjadi hanya 8 orang di antara 10 orang maka peluang yang terpilih anak berbaju warna merah juga berkurang. Nilai probabilitasnya menjadi hanya 80% atau 0,8. Nilai probabilitas dapat dinyatakan dalam persentase, desimal, maupun pecahan. Perhatikan nilai probabilitas untuk beberapa contoh berikut: 
Kita simbolkan P(M) adalah probabilitas dari terpilihnya anak berbaju warna merah, P(K) adalah probabilitas terpilihnya anak berbaju kuning. Ketika semua berbaju warna merah seperti kelompok anak pada gambar sebelah kiri maka probabilitas terpilih anak baju warna merah maka P(M)=1 sedangkan P(K)=0. Sedangkan ketika semua anak berbaju warna kuning seperti kelompok anak pada gambar sebelah kanan maka probabilitas terpilihnya anak berbaju warna merah P(M)=0 sedangkan probabilitas terpilihnya anak berbaju kuning P(K)=1.
Sekarang perhatikan contoh berikut:
Sekarang perhatikan contoh berikut:
Untuk kelompok anak pada gambar sebelah kiri probabilitas terpilihnya anak berbaju warna merah adalah 0,6. Sedangkan kelompok anak pada gambar sebelah kanan probabilitas terpilihnya anak berbaju warna merah adalah 0,8. Itu berarti peluang terpilihnya anak yang berbaju warna merah lebih besar pada kelompok anak di gambar sebelah kanan.
Perhatikan pula bahwa dalam satu kejadian jumlah peluangnya selalu 1.
Sekarang perhatikan contoh di bawah! Ketika jumlah anak yang memakai baju warna merah dan kuning sama, maka masing-masing memiliki peluang yang sama yang biasa kita katakan fifty-fifty atau probabilitasnya 50% atau setengah.
Pada kelompok anak di gambar sebelah kanan terdapat beberapa kemungkinan, ada yang baju berwarna merah(M), biru(B), hitam(H), dan hijau(Hi). Kalau kita jumlahkan semua nilai probabilitasnya sama dengan 1.
Peluang terpilihnya anak berbaju warna biru P(B)=0,2 karena di antara 10 orang itu terdapat 2 anak yang memakai baju biru. Peluang anak yang tidak memakai baju berwarna biru adalah 0,8, karena ada 8 anak yang tidak memakai baju warna biru di antara kesepuluh anak tersebut. Kalau dihitung nilai probabilitasnya maka P(M) + P(B) + P(H) + P(Hi) =1.
P(M) + P(H) + P(Hi) =1-P(B). Di sini P(M) + P(H) + P(Hi) merupakan jumlah peluang warna merah, hitam, dan hijau. Ketiganya merupakan jumlah peluang warna selain biru atau komplemen dari warna biru atau ditulis P(B'). Sehingga dapat ditulis P(B')=1-P(B).
Jika probabilitas terpilihnya anak berbaju merah adalah P(M) maka peluang terpilihnya anak yang tidak memakai baju warna merah atau probabilitas komplemen dari warna merah P(M')=1-P(M).
Dari keterangan di atas dapat dirumuskan bahwa:
B. Nilai Peluang (Probabilitas)
Contoh 1:
Seorang anak memiliki 3 warna baju yaitu merah, kuning, dan biru. Ia juga memiliki 2 warna sepatu yaitu hitam dan putih. Berapakah:
a. peluang anak tersebut memakai sepatu hitam?
b. peluang anak tersebut memakai baju kuning?
c. peluang anak tersebut memakai sepatu hitam atau baju kuning?
d. peluang anak tersebut memakai sepatu hitam dan baju kuning?
Solusi:
Banyaknya varian warna baju n(P)=3
Banyaknya varian warna sepatu n(Q)=2
Banyaknya semua kemungkinan n(S)=n(P) x n(Q)= 2 x 3 = 6.
Tabelnya sebagai berikut:
a. Peluang anak tersebut memakai sepatu hitam.
Kemungkinannya memakai sepatu hitam ada 3 yaitu sepatu dan hitam baju merah (HM), sepatu hitam baju kuning (HK), dan sepatu hitam baju biru (HB).b. Peluang anak tersebut memakai baju kuning.
Kemungkinan anak tersebut memakai baju kuning ada 2 yaitu sepatu hitam baju kuning (HK) dan sepatu putih baju kuning (PK).
Kemungkinan anak tersebut memakai sepatu hitam atau baju kuning ada 4 yaitu sepatu hitam baju merah (HM), sepatu hitam baju kuning (HK), sepatu hitam baju biru (HB), dan sepatu putih baju kuning (PK).
Kemungkinan anak tersebut memakai sepatu hitam dan baju kuning hanya 1 yaitu (HK).
Contoh 2:
Suatu tim pelari estafet terdiri dari 4 orang yaitu Angga (A), Benny (B), Chandra (C), dan Danu (D). Sebelum berlari mereka mengatur strategi siapakah yang akan lari pada urutan pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Tentukan berapa peluang Angga lari pada urutan kedua?
Solusi:
Contoh 3:
Ibu Hartini memiliki 2 orang anak dan 3 orang keponakan. Mereka terdiri dari 3 orang perempuan dan 2 orang laki-laki sedang berkumpul di ruang tengah. Jika ibu Hartini memanggil 2 orang di antaranya untuk membawakan makanan dari dapur ke ruang makan, berapakah peluang yang dipanggil adalah 2 orang laki-laki?
Solusi:
Kita juga tidak perlu mengisi sel yang sudah ada pasangan yang sama. Misalkan kita sudah mengisi sel P1-P2, kita tidak perlu mengisi sel P2-P1 karena keduanya merupakan pasangan yang sama. Dengan demikian semuanya ada 10 kemungkinan, yang terdiri dari 3 pasang anak perempuan semua yaitu P1-P2, P1-P3, P2-P3, terdapat 6 pasang anak perempuan dan laki-laki yaitu P1-L1, P1-L2, P2-L1, P2-L2, P3-L1, P3-L2, dan 1 pasang laki-laki yaitu L1-L2
Contoh 4:
Adi memegang 2 keping uang logam. Keduanya jatuh ke lantai. Tentukan peluang permukaan yang terlihat salah satunya merupakan gambar dan yang lainnya merupakan angka!
Solusi
Contoh 5:
Jika Adi menambahkan koinnya sehingga menjadi 3 keping uang logam, berapa peluang munculnya 2 gambar dan 1 angka?
Jika Adi menambahkan koinnya sehingga menjadi 3 keping uang logam, berapa peluang munculnya 2 gambar dan 1 angka?
Solusi:
Karena kita sudah memiliki ruang sampel untuk 2 koin, maka untuk mendapatkan ruang sampel 3 koin kita tinggal menambah 1 koin lagi.
- ketiga-tiganya muncul angka ada 1, muncul 2 angka satu gambar ada 3 yaitu: AAG, AGA, dan GAA.
- Sedangkan munculnya 2 gambar 1 angka ada 3 yaitu: AGG, GAG, dan GGA.
- Ketiga-tiganya muncul gambar ada 1 yaitu GGG.
Contoh 6:
Adi menambah 1 koin lagi sehingga ia memiliki 4 koin. Berapa peluang munculnya 3 angka 1 gambar?
Adi menambah 1 koin lagi sehingga ia memiliki 4 koin. Berapa peluang munculnya 3 angka 1 gambar?
Solusi
Kita ambil dulu ruang sampel untuk 3 koin yang terdapat di contoh 5, kemudian kita tambahkan 1 koin lagi. Sehingga ruang sampelnya sebagai berikut:
- Satu titik sampel yang keempat-empatnya angka semua yaitu AAAA.
- Empat titik sampel 3 angka 1 gambar yaitu: AAAG, AAGA, AGAA, GAAA.
- Enam titik sampel 2 angka 2 gambar yaitu: AAGG, AGAG, AGGA, GAAG, GAGA, GGAA.
- Empat titik sampel muncul 1 angka 2 gambar yaitu: AGGG, GAGG, GGAG, GGGA.
- Satu titik sampel yang keempatnya gambar semua yaitu GGGG
Contoh 4, 5, dan 6 merupakan contoh probabilitas suatu kejadian yang titik sampelnya memiliki 2 kemungkinan yaitu gambar dan angka. Hal yang sama berlaku juga untuk semua probabilitas yang titik sampelnya memiliki 2 kemungkinan misalnya perempuan dan laki-laki, menang dan kalah, mati dan hidup, terbuka dan tertutup, dan sebagainya.
Kita dapat lebih mudah menemukan ruang sampelnya menggunakan segitiga Pascal. Berikut adalah bentuknya:
Hal-hal mengenai sejarah Blaise Pascal dapat dibaca dengan mengklik tautan berikut:
Hasilnya dengan cepat kita dapatkan dengan cara:
- Susun dari kiri ke kanan pada setiap suku pangkat dari A mulai pangkat 2 kemudian pangkat berkurang 1 hingga A pangkat 0 atau hasilnya sama dengan 1.
- Sebaliknya G dari kanan ke kiri mulai berpangkat 2 dan pangkat semakin berkurang hingga G pangkat 0 atau sama dengan 1.
- Perhatikan bahwa setiap suku jumlah pangkatnya sama dengan 2.
- Koefisien setiap suku merupakan bilangan pada segitiga Pascal pada urutan ke 2 (yang ada angka 2)
Dari hasilnya kita lihat:
- A² berarti 2 angka hanya ada 1 (sesuai koefisiennya).
- AG berarti 1 gambar 1 angka ada 2 karena koefisiennya 2.
- G² berarti 2 ganbar hanya ada 1 (sesuai koefisiennya).
Bandingkan hasilnya dengan cara menggunakan tabel. (Sama kan? ☺️)
Tahukah kamu bagaimana strategi menempatkan angka-angka itu?
Sekarang kita coba untuk koin dengan jumlah 3 buah. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
Jika 3 koin maka (A+G) dipangkat 3.
Hasilnya dengan cepat kita dapatkan dengan cara:
- Susun dari kiri ke kanan pada setiap suku pangkat dari A mulai pangkat 3 kemudian pangkat berkurang 1 hingga A pangkat 0 atau hasilnya sama dengan 1.
- Sebaliknya G dari kanan ke kiri mulai berpangkat 3 dan pangkat semakin berkurang hingga G pangkat 0 atau sama dengan 1.
- Perhatikan bahwa setiap suku jumlah pangkatnya sama dengan 3.
- Koefisien setiap suku merupakan bilangan pada segitiga Pascal pada urutan ke 3 (yang ada angka 3)
Dari hasilnya kita lihat:
- A³ berarti 3 angka hanya ada 1 (sesuai koefisiennya) banyaknya.
- A²G berarti 2 angka 1 gambar ada 3 karena koefisiennya 3.
- AG²
- G³ berarti 3 gambar hanya ada 1 (sesuai koefisiennya).
Bandingkan hasilnya dengan cara menggunakan tabel. (Kamu semakin yakin kan? 😃)
Supaya kamu semakin yakin, yuk kita lihat yang untuk 4 koin.
Jika 4 koin maka (A+G) dipangkat 4.
Hasilnya dengan cepat kita dapatkan dengan cara:
- Susun dari kiri ke kanan pada setiap suku pangkat dari A mulai pangkat 4 kemudian pangkat berkurang 1 hingga A pangkat 0 atau hasilnya sama dengan 1.
- Sebaliknya G dari kanan ke kiri mulai berpangkat 4 dan pangkat semakin berkurang hingga G pangkat 0 atau sama dengan 1.
- Perhatikan bahwa setiap suku jumlah pangkatnya sama dengan 4.
- Koefisien setiap suku merupakan bilangan pada segitiga Pascal pada urutan ke 4 (yang ada angka 4)
Dari hasilnya kita lihat:
- A⁴ berarti 4 angka hanya ada 1 (sesuai koefisiennya).
- A³G berarti 3 angka 1 gambar ada 4 karena koefisiennya 4.
- A²G²
- AG³ berarti 3 angka 3 gambar ada 4 karena koefisiennya 4.
- G⁴ berarti 4 gambar hanya ada 1.
Bandingkan hasilnya dengan cara menggunakan tabel. (Keren kan? 😉)
Contoh 7
Dalam suatu kelas terdapat 27 siswa. Empat belas siswa menyukai pelajaran Matematika, 17 orang menyukai pelajaran IPA dan 2 orang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut. Jika dipilih salah seorang di anataranya, berapa peluang yang terpilih adalah siswa yang menyukai pelajaran Matematika maupun IPA?Solusi:
Mula-mula kita buat diagram Vennya terlebih dahulu. Hasilnya seperti berikut:
- Isilah bagian diagram venn yang jumlahnya diketahui dengan pasti terlebih dahulu. Kita tidak dapat langsung menempatkan bilangan 14 pada pelajaran Matematika karena di antara 14 orang itu ada yang hanya menyukai pelajaran Matematika namun ada juga yang menyukai matematika dan IPA.
- Maka tempatkan bilangan yang pasti diketahui posisinya yaitu 2 orang yang tidak menyukai Matematika dan IPA, bilangan ini berada di luar kedua lingkaran.
- Sehingga masih ada 25-2=23 orang yang bakal ada di kedua lingkaran. Karena di antara ke 23 orang itu yang menyukai Matematika hanya 14 orang, maka yang tidak menyukai Matematika ada 23-14=11 orang. Kesebelas orang ini berada di luar lingkaran Matematika yaitu di bagian yang hanya menyukai IPA.
- Namun karena yang menyukai IPA ternyata ada 17 orang maka yang 6 orang berada di dalam irisan bagian IPA dan Matematika.
- Nah, sekarang kita dapat menyesuaikan soalnya, karena yang menyukai Matematika ada 14 orang dan sudah terisi 6 orang yaitu di bagian yang menyukai Matematika dan IPA, berarti yang hanya mneyukai Matematika adalah 8 orang.
- Coba periksa satu demi satu apakah sudah sesuai soal? Mantap ya 👍...
Sekarang kita bisa menjawab pertanyaannya peluang yang menyukai Matematika dan IPA adalah ⁶⁄₂₇. Enam adalah banyaknya siswa yang berada dalam irisan Matematika dan IPA, 27 siswa adlah jumlah seluruh siswa.
C. Frekuensi Relatif
D. Frekuensi Harapan