Segi-n beraturan

Bidang datar tidak hanya terdiri dari segitiga dan segiempat, tetapi terdapat juga lingkaran dan poligon atau bidang datar yang memiliki sisi lebih dari 4 buah.

Pada materi ini kita akan belajar tentang segi-n beraturan yaitu segi-n yang yang sisi-sisinya sama panjang. Segi-n beraturan perlu dipelajari untuk memudahkan kita dalam memahami prisma dan limas segi-n.

A. Banyaknya Diagonal segi-n

Mula-mula, kita pelajari dulu banyaknya diagonal pada bidang datar segi-n.

Perhatikan gambar berikut:

Perhatikan setiap sudut segi-n terdapat diagonal yang mengarah ke titik sudut lainnya, kecuali ke 3 titik sudut yaitu dengan dirinya sendiri dan 2 buah titik sudut yang bersebelahan dengan dirinya. Jadi dari setiap sudut terdapat diagonal sebanyak n-3. Perhatikan untuk segitiga tidak terdapat diagonal karena hanya terdapat 3 sudut yaitu dirinya sendiri dan 2 sudut yang bersebelahan. Karena dalam segi-n terdapat n sudut sehingga terdapat n x (n-3) diagonal yang keluar dari setiap sudut. Hati-hati karena sebuah diagonal dihubungkan oleh 2 buah sudut agar kita tidak menghitungnya 2 kali, maka banyaknya diagonal dalam sebuah segi-n adalah setengah dari n (n-3).

Berikut contoh soalnya:

B. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Segi-n

Sekarang kita akan mempelajari besar sudut pusat dan sudut keliling dari suatu segitiga beraturan.

Perhatikan pada gambar di atas, karena segitiga beraturan maka setiap sisinya sama panjang dan setiap sudut pusatnya sama besar. Ingat bahwa besar sudut satu putaran penuh adalah 360 derajat, maka masing-masing besar sudut pusatnya adalah α = 360 : 3 = 120 derajat.

Perhatikan dalam segitiga tersebut terdapat 3 buah segitiga yang kongruen (besar dan ukurannya sama). Panjang OA = OB = OC, berarti setiap segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki, sehingga sudut-sudut kakinya sama yaitu β. Sedangkan besar sudut keliling yaitu ∠ ABC = ∠ BCA = ∠ CAB = 2 β.

Untuk mengetahui besar sudut keliling mari kita selidiki salah satu segitiga. Kita pilih segitiga AOC. Ingat jumlah sudut-sudut dalam segitiga selalu 180 derajat. Sehingga α + β + β =180° atau dapat ditulis α + 2β =180°. Sebelumnya sudah kita dapatkan besar sudut pusat α=120°. Sehingga kita dapatkan besar 2β =180°-120°=60°

Dengan cara yang lebih singkat, kita tahu bahwa jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180°. Karena segitiga sama sisi memiliki sudut-sudut sama besar, maka masing-masing sudutnya memiliki besar 180°: 3 = 60°

Sekarang kita belajar tentang sudut pusat dan sudut keliling pada segi-empat.

Perhatikan pada gambar di atas, gambar tersebut merupakan persegi atau segi empat beraturan. Setiap sudut pusatnya α sama besar, yaitu 360 : 4 = 90 derajat.

Dalam persegi tersebut terdapat 4 buah segitiga sama kaki yang kongruen. Besar sudut keliling yaitu ∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAB = 2 β.

Untuk mengetahui besar sudut keliling mari kita selidiki salah satu segitiga. Kita pilih segitiga AOB. Ingat jumlah sudut-sudut dalam segitiga selalu 180 derajat. Sehingga α + β + β =180° atau dapat ditulis α + 2β =180°. Sebelumnya sudah kita dapatkan besar sudut pusat α=90°. Sehingga kita dapatkan besar 2β =180°-90°=90°

Dengan cara yang lebih singkat, kita tahu bahwa jumlah sudut-sudut dalam segi empat adalah 360°. Karena segitiga sama sisi memiliki sudut-sudut sama besar, maka masing-masing sudutnya memiliki besar 360°: 4 = 90°

Berikutnya kita akan belajar sudut pusat dan sudut keliling segi lima.

Perhatikan pada gambar di atas, gambar tersebut merupakan segi lima beraturan. Setiap sudut pusatnya α sama besar, yaitu 360 : 5 = 72 derajat.

Dalam segi lima tersebut terdapat 5 buah segitiga sama kaki yang kongruen. Besar sudut keliling yaitu ∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDE = ∠ DEA = ∠ EAB = 2 β.

Untuk mengetahui besar sudut keliling mari kita selidiki salah satu segitiga. Kita pilih segitiga AOB. Ingat jumlah sudut-sudut dalam segitiga selalu 180 derajat. Sehingga α + β + β =180° atau dapat ditulis α + 2β =180°. Sebelumnya sudah kita dapatkan besar sudut pusat α=72°. Sehingga kita dapatkan besar 2β =180°-72°=108°

Bagaimana dengan besar sudut pusat dan sudut keliling segi enam? Yuk kita perhatikan gambar berikut:

Pada segi enam beraturan, setiap sudut pusatnya α sama besar, yaitu 360 : 6 = 60 derajat.

Dalam segi lima tersebut terdapat 6 buah segitiga sama kaki yang kongruen. Besar sudut keliling yaitu ∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDE = ∠ DEF = ∠ EFA = ∠ FAB = 2 β.

Untuk mengetahui besar sudut keliling mari kita selidiki salah satu segitiga. Kita pilih segitiga AOB. Ingat jumlah sudut-sudut dalam segitiga selalu 180 derajat. Sehingga α + β + β =180° atau dapat ditulis α + 2β =180°. Sebelumnya sudah kita dapatkan besar sudut pusat α=60°. Sehingga kita dapatkan besar 2β =180°-60°=120°

Dari penjelasan di atas, kita dapat merangkum pelajaran kita tentang besar sudut pusat dan sudut keliling suatu segi-n beraturan sebagai berikut:

Sekarang kita lebih fokus ke rumus umumnya.

Di atas adalah rumus untuk besar sudut pusat dan sudut keliling untuk segi-n beraturan. Untuk rumus besar sudut keliling dapat diturunkan menjadi beberapa rumus. Silakan gunakan rumus yang kamu anggap mudah digunakan atau mudah dihafal.

Berikut contoh soalnya:

C. Luas dan Keliling Segi-n beraturan

Sebelum kita mempelajari luas segi-n beraturan kita temukan dulu rumus luas segitiga secara umum. Berikut penjelasannya:

Kita tahu bahwa rumus luas segitiga adalah setengah alas kali tinggi. Namun kita dapat membuat rumus yang lain tanpa menggunakan tinggi segitiga dengan catatan kita tahu hubungan antara tinggi segitiga dengan sisi yang lain. Dalam matematika terdapat istilah sinus yaitu perbandingan antara sisi tegak dan sisi miring dari suatu segitiga siku-siku. Dengan mensubstitusi variabel t, kita dapat menemukan rumus luas segitiga yang lain seperti pada gambar di atas.

Selain istilah Sinus, ada pula nilai Cosinus yaitu perbandingan antara sisi datar dengan sisi miring, dan nilai Tangen yaitu perbandingan antara sisi tegak dan sisi datar. Istilah-istilah itu disebut trigonometri. Pada sudut-sudut istimewa yaitu 30°, 45°, 60°, dan 90° nilai trigonometrinya merupakan suatu pola sehingga mudah dihafal. Berikut daftarnya:

Untuk mengetahui besar nilai trigonometri untuk sudut yang lainnnya dapat menggunakan calculator online.

Sekarang kita akan menggunakan rumus segitiga dengan Sinus untuk segitiga sama sisi. Perhatikan penjelasan berikut:

Coba kita bandingkan dengan cara yang berbeda, apakah hasilnya sama?

Cara di atas adalah dengan menjumlah luas segitiga-segitiga kongruen yang berada di dalamnya dengan rumus setengah alas x tinggi. Ternyata hasilnya ditemukan rumus yang sama.

Kita juga dapat menghitung luas segitiga sama sisi dengan menjumlah segitiga-segitiga kongruen yang berada di dalamnya menggunakan rumus trigonometri.

Sekarang kita akan belajar lebih jauh tentang luas persegi.

Selain menggunakan rumus sisi x sisi, luas persegi juga dapat menggunakan rumus setengah x diagonal x diagonal hingga ditemukan rumus seperti penjelasan di atas.

Kita juga dapat menemukan rumus persegi dengan menjumlahkan segitiga-segitiga kongruen yang ada di dalamnya. Ternyata rumus yang didapat hasilnya sama.

Pada segi lima beraturan kita dapat menemukan rumus luasnya dengan menjumlahkan segitiga-segitiga kongruen yang berada di dalamnya seperti uraian di atas.